1、高考大题专项练一 高考中的函数与导数 一、非选择题 1.设函数 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为 0,求 a;(2)若 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 a 的取值范围.解:(1)因为 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f(2)=(2a-1)e2.由题设知 f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得 a=.(2)由(1)得 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若 a1,则当 x()时,f(x)0.所以 f(x)在 x=1 处取
2、得极小值.若 a 则当 x(0,1)时,ax-x-10.所以 1 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是().2.已知函数 f(x)=-.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a 时,f(x)+0.答案:(1)解 f(x)=-,f(0)=2.因此曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是 2x-y-1=0.(2)证明当 a 时,f(x)+x2+x-1+ex+1)e-x.令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则 g(x)=2x+1+ex+1.当 x-1 时,g(x)-1 时,g(x)0,g(x)单调递增;所以 g(x g(-1)=0.因此 f
3、(x)+0.3.已知函数 f(x)=ln x+ax2-x-m(mZ).(1)若 f(x)是增函数,求 a 的取值范围;(2)若 a0,且 f(x)0,g(1)=a0,g(x)=a(-)+1-在区间(0,+)内单调递减.因此 g(x)在区间(0,1)内有唯一的解 x0,使得 a 0=x0-1,而且当 0 x0,当 xx0时,f(x)0.所以 r(x)在区间(0,1)内单调递增.所以 r(x)0,由 f(x)0,得 0 x2;由 f(x)0,得 1x2.所以函数 f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+),单调递减区间是(1,2).(2)由(1)可知极小值 f(2)=2ln2-4,极大值为 f
4、(1)=-.因为方程 f(x)=m 有三个实根,所以 2ln2-4m0;当 x()时,g(x)0,g()=-2,故 g(x)在(0,)存在唯一零点.所以 f(x)在(0,)存在唯一零点.(2)解由题设知 f(a,f()=0,可得 a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为 x0,且当 x(0,x0)时,f(x)0;当 x(x0,)时,f(x)0,所以 f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减.又 f(0)=0,f()=0,所以,当 x0,时,f(x 0.又当 a0 x0,时,ax0 故 f(x ax.因此,a 的取值范围是(-,0.6.定义在实数集上的函数 f(x)=x
5、2+x,g(x)=x3-2x+m.(1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程;(2)若 f(x g(x)对任意的 x-4,4恒成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)f(x)=x2+x,当 x=1 时,f(1)=2,f(x)=2x+1,f(1)=3,所求切线方程为 y-2=3(x-1),即 3x-y-1=0.(2)令 h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m,则 h(x)=(x-3)(x+1).当-4x0;当-1x3 时,h(x)0;当 3x0.要使 f(x g(x)恒成立,即 h(x)max0 由上知 h(x)的最大值在 x=-1 或 x=4 处取得,而 h(-1)=m+
6、,h(4)=m-0,故 m+0 即 m-,故实数 m 的取值范围为(-.7.已知函数 f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)求 f(x)的单调区间;(2)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1(0,2,均存在 x2(0,2,使得 f(x1)0).(1)f(x)=-(x0).当 a0 时,x0,ax-10,在区间(2,+)内,f(x)0,故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+).当 0a2,在区间(0,2)和()内,f(x)0,在区间()内,f(x)时,0 0,在区间()内,f(x)0,故 f(x)的单调递增区间是(0 )和(2,+),单调递减区间
7、是().(2)对任意 x1(0,2,均存在 x2(0,2,使得 f(x1)g(x2)在区间(0,2上有 f(x)maxg(x)max.由题意可知 g(x)max=0,由(1)可知,当 a 时,f(x)在区间(0,2上单调递增.故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,所以-2a-2+2ln2ln2-1.故 ln2-1 时,f(x)在区间(0 上单调递增,在区间(上单调递减,故 f(x)max=f()-(2a+1)+2ln =-2-2lna 时,+2lna +2lne-1=-2-2.故 a 时满足题意.综上,a 的取值范围为(ln2-1,+).8.已知函
8、数 f(x)=x3+kln x(kR),f(x)为 f(x)的导函数.(1)当 k=6 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;求函数 g(x)=f(x)-f(x)+的单调区间和极值;(2)当 k-3 时,求证:对任意的 x1,x21,+),且 x1x2,有 -.答案:(1)解当 k=6 时,f(x)=x3+6lnx,故 f(x)=3x2+.可得 f(1)=1,f(1)=9,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-1=9(x-1),即 y=9x-8.依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+,x(0,+).从而可得 g(x)=3x2-6x+,整理可得 g(x
9、)=-.令 g(x)=0,解得 x=1.当 x 变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)极小值 所以,函数 g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);g(x)的极小值为 g(1)=1,无极大值.(2)证明由 f(x)=x3+klnx,得 f(x)=3x2+.对任意的 x1,x21,+),且 x1x2,令 =t(t1),则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)3 +3 -2 +kln =-3 x2+3x1 +k()-2kln =(t3-3t2+3t-1)+k().令 h(x)=x-2lnx,x1,+).当 x1 时,h(x)=1+(-)0,由此可得 h(x)在1,+)单调递增,所以当 t1 时,h(t)h(1),即 t-2lnt0.因为 x2 t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3,所以,(t3-3t2+3t-1)+kk()t3-3t2+3t-1)-3k()=t3-3t2+6lnt+-1.由(1)可知,当 t1 时,g(t)g(1),即 t3-3t2+6lnt+1,故 t3-3t2+6lnt+-10.由可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)0.所以,当 k-3 时,对任意的 x1,x21,+),且 x1x2,有 -.
