1、第1节导数的概念与导数的计算考试要求1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处
2、的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，
3、则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论与易错提醒1.f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同.2.f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了
4、变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4)2.函数yxcos xsin x的导数为()A.xsin x B.xsin x C.xcos x D.xcos x解析y(xcos x)(sin x
5、)cos xxsin xcos xxsin x.答案B3.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x.答案y3x4.(2020南通一调)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_.解析因为yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，ln t2，te2.答案e25.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(1)e2x2x22f(0)x，则f(0)_；f(x)_.解析f(x)f(1)e2x2x22f(0)x，f
6、(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，即1f(1)e2，f(1)2e2，f(x)e2xx22x.答案1e2xx22x6.(2020杭州四中仿真)已知函数f(x)x3axb的图象在点(1，f(1)处的切线方程为2xy50，则a_；b_.解析由题意得f(x)3x2a，则由切线方程得解得a1，b3.答案13考点一导数的运算【例1】 求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)yxsincosxsin(4x)xsi
7、n 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(4)令u2x5，yln u.则y(ln u)u2，即y.规律方法求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.【训练1】 分别求下列函数的导数：(1)yexln x
8、；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).考点二导数的几何意义 多维探究角度1求切线的方程【例21】 (1)(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()A.xy10 B.2xy210C.2xy210 D.xy10(2)已知曲线yx3上一点P，则过点P的切线方程为_.解析(1)设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y
9、(1)2(x)，即2xy210.故选C.(2)设切点坐标为，由yx2，得y|xx0x，即过点P的切线的斜率为x，又切线过点P，若x02，则x，解得x01，此时切线的斜率为1；若x02，则切线的斜率为4.故所求的切线方程是yx2或y4(x2)，即3x3y20或12x3y160.答案(1)C(2)3x3y20或12x3y160角度2求参数的值【例22】 (1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.ae1，b1 D.ae1，b1(2)(2020杭州质检)若直线yx与曲线yexm(mR，e为自然对数的底数)相切，则m
10、()A.1 B.2 C.1 D.2解析(1)因为yaexln x1，所以ky|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.所以即(2)设切点坐标为(x0，ex0m).由yexm，得yexm，则切线的方程为yex0mex0m(xx0)，又因为切线yx过点(0，0)，代入得x01，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入yexm中，解得m1，故选C.答案(1)D(2)C角度3公切线问题【例23】 (一题多解)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析法一yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在
11、点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得答案8规律方法(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(
12、2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练2】 (1)(角度1)(2019天津卷)曲线ycos x在点(0，1)处的切线方程为_.(2)(角度2)已知曲线f(x)ax3ln x在(1，f(1)处的切线的斜率为2，则实数a的值是_.(3)(角度3)若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9(a0)都相切，则a的值为()A.1或 B.1或C.或 D.或7解析(1)ysin x，将x0代入，可得切线斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.(2)f(x)3ax2，则f(1)3a12，解
13、得a.(3)由yx3得y3x2，设曲线yx3上任意一点(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0)，将(1，0)代入得x00或x0.当x00时，切线方程为y0，由得ax2x90，4a90得a.当x0时，切线方程为yx，由得ax23x0，324a0得a1.综上知，a1或a.答案(1)yx1(2)(3)A基础巩固题组一、选择题1.(2019南昌一模)已知f(x)在R上连续可导，f(x)为其导函数，且f(x)exexf(1)x(exex)，则f(2)f(2)f(0)f(1)()A.4e24e2 B.4e24e2C.0 D.4e2解析由题意得f(x)exexf(1)exexx(exex)，所以f(0)
14、e0e0f(1)e0e00(e0e0)0，f(2)f(2)0，所以f(2)f(2)f(0)f(1)0，故选C.答案C2.设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.故选D.答案D3.若曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)或(1，3) D.(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，
15、经检验点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.答案C4.已知f(x)的导函数为f(x)，若满足xf(x)f(x)x2x，且f(1)1，则f(x)的解析式可能是()A.x2xln xx B.x2xln xxC.x2xln xx D.x22xln xx解析由选项知f(x)的定义域为(0，)，由题意得1，即1，故xln xc(c为待定常数)，即f(x)x2(ln xc)x.又f(1)1，则c0，故选C.答案C5.(一题多解)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解
16、析法一因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20.因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.法二因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，此时f(x)x3x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.法三易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)
17、xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.答案D6.(2020福州质检)已知函数f(x)xsin x，f(x)为f(x)的导函数，则函数f(x)的部分图象大致为()解析因为f(x)xsin x，所以f(x)sin xxcos x，又因为f(x)sin(x)xcos(x)sin xxcos x(sin xxcos x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D；设g(x)f(x)，则g(x)2cos xxsin x，g(0)2，排
18、除B，故选A.答案A二、填空题7.(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).答案(e，1)8.(2020广州综测一)若函数f(x)ax的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，4)，则a_.解析f(x)a，f(1)a3，f(1)a3，故f(x)的图象在点(1，a3)处的切线方程为y(a3)(a3)(x1)，又切线过点(2，
19、4)，所以4(a3)a3，解得a2.答案29.已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_；f(x)在x1处的切线方程为_.解析f(x)aa(1ln x)，由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.f(x)3xln x，f(1)0，f(x)在x1处的切线方程为y3(x1)，即为3xy30.答案33xy3010.设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析yex，曲线yex在点(0，1) 处的切线的斜率k1e01.设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0
20、)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)三、解答题11.已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围.解(1)yx24x3(x2)211，当x2时，ymin1，y，斜率最小的切线过点，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.12.已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)P(2，4)在曲线yx3上，且yx2，在点
21、P(2，4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.能力提升题组13.(2020温州适应性测试)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)abx2的图象上的任意两点，且yf(x)在点处的切线与直线AB平行，则()A.a0，b为任意
22、非零实数B.b0，a为任意非零实数C.a，b均为任意实数D.不存在满足条件的实数a，b解析由题意得f(x)2bx，则f2b，kABb(x1x2)，则2bb(x1x2)，即，因为，即()2，所以a0，因为切线不与直线AB重合，所以b0.综上，a0，b为任意非零实数，故选A.答案A14.关于x的方程2|xa|ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为_.解析由题意，临界情况为y2(xa)与yex相切的情况，yex2，则xln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，则此时a1ln 2，所以只要y2|xa|图象向左移动，都会产生3个交点，所以a1ln 2，即a(1ln 2，).答案(1ln 2，)15
23、.若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析yln x2的切线为：yxln x11(设切点横坐标为x1).yln(x1)的切线为：yxln(x21)(设切点横坐标为x2).解得x1，x2，bln x111ln 2.答案1ln 216.已知函数f(x)|x3axb|(a，bR)，若对任意的x1，x20，1，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立，则实数a的取值范围是_.解析当x1x2时，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立；当x1x2时，由f(x1)f(x2)2|x1x2|得2，故函数f(x)在(0，1)上的导函数f(x)满足|f(x)|2，函数yx
24、3axb的导函数为y3x2a，其中0，1上的值域为a，a3，则有解得2a1.综上所述，实数a的取值范围为2，1.答案2，117.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得
25、yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.18.如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk，0)(k1，2，n).(1)试求xk与xk1的关系(k2，n)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解(1)设点Pk1的坐标是(xk1，0)，yex，yex，Qk1(xk1，exk1)，在点Qk1(xk1，exk1)处的切线方程是yexk1exk1(xxk1)，令y0，则xkxk11(k2，n).(2)x10，xkxk11，xk(k1)，|PkQk|exke(k1)，于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1)，即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.
