1、42.1直线与圆的位置关系预习课本P126128，思考并完成以下问题 1直线与圆的位置关系有哪几种？ 2过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求？ 3直线被圆所截得的弦长公式是什么？弦长公式是怎样推导出来的？ 1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000点睛判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次
2、曲线的位置关系时，常用代数法1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是相交()答案：(1)(2)2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1 BC D解析：选C设l：yk(x2)，即kxy2k0.又l与圆相切，1.k.3直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_解析：圆的方程可化为(x3)2(y4)225.故圆心为(3,4)，半径r5.又直线方程为2xy30，所以圆心到直线的距离为d，所以弦长为2224.答案：4直线与圆位置关系的
3、判断典例(1)已知直线l：x2y50与圆C：(x7)2(y1)236，判断直线l与圆C的位置关系解法一代数法由方程组消去y后整理，得5x250x610.(50)245611 2800，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交法二几何法圆心(7,1)到直线l的距离为d2.dr6，直线l与圆C相交判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断上述方法中最常用的是几何法 活学活用1直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交 B相离C相交或相切 D相切解析：选C直线xky10恒过定点(1,0)，而(1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交2
4、设m0，则直线l：(xy)1m0与圆O：x2y2m的位置关系为()A相切 B相交C相切或相离 D相交或相切解析：选C圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，dr(m21)(1)20，dr，故直线l和圆O相切或相离切线问题典例(1)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A2 B3C4 D6(2)过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程为_解析(1)因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2d2r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题由
5、题意易知圆心C(1,2)，半径长r，点(a，b)在直线yx3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线yx3的距离d，易求d3，所以切线长的最小值为4.(2)(12)2(43)2101，点A在圆外当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程y4或3x4y130.答案(1)C(2)y4或3x4y130(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在
6、，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解(3)求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题活学活用1圆x2y24在点P(，1)处的切线方程为()A.xy20 B.xy40C.xy40 D.xy20解析：选
7、C()2(1)24，点P在圆上切点与圆心连线的斜率为，切线的斜率为，切线方程为y1(x)，即xy40.2点P是直线2xy100上的动点，PA，PB与圆x2y24分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_解析：如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA.又OAAP，所以S四边形PAOB2|OA|PA|22.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2xy100的距离：|OP|min2.故所求最小值为28.答案：8弦长问题典例如果一条直线经过点M且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，于是弦心
8、距d 3.因为圆心O(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.求弦长的两种方法涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d22r2求解，这是常用解法(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解此解法很烦琐，一般不用 活
9、学活用1在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：因为圆心(2，1)到直线x2y30的距离d，所以直线x2y30被圆截得的弦长为2 .答案：2过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_解析：设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|.半弦长.最短弦的长为2.答案：2层级一学业水平达标1直线3x4y120与圆C：(x1)2(y1)29的位置关系是()A相交并且直线过圆心 B相交但直线不过圆心C相切 D相离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离d，圆C的半径r3，则dr，所
10、以直线与圆相离2圆x2y24x4y60截直线xy50所得的弦长等于()A. B.C1 D5解析：选A圆的方程可化为(x2)2(y2)22，则圆的半径r，圆心到直线的距离d，所以直线被圆截得的弦长为22 .3以点(2，1)为圆心，且与直线3x4y50相切的圆的方程为()A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29解析：选D圆心到直线3x4y50的距离d3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)29.4若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A0或4 B0或3C2或6 D1或解析：选A由圆的方程，可知
11、圆心坐标为(a,0)，半径r2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d .又d，所以|a2|2，解得a4或a0.故选A.5若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A. B1C. D.解析：选D圆心到直线的距离d，设弦长为l，圆的半径为r，则2d2r2，即l2.6已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.圆心C(1，a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形，所以|AB|BC|2，所
12、以21222，解得a4.答案：47已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_解析：令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为直线xy30与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r，所以圆C的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y228点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的半径是_解析：由题知，直线xy10过圆心，即110，k4.r1.答案：19一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所得弦长为2，求此圆的方程解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上，故设圆的方程为(x3b)2(
13、yb)29b2.又因为直线yx截圆得弦长为2，则有2()29b2，解得b1，故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.10设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，求圆的方程解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.点A(2,3)关于直线x2y0的对称点A仍在这个圆上，圆心(a，b)在直线x2y0上a2b0，且(2a)2(3b)2r2.又直线xy10与圆相交的弦长为2，r2d2r22()2.解由方程组成的方程组，得或所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(x7)2244.层级
14、二应试能力达标1直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)21的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法确定，与m的取值有关解析：选A圆心到直线的距离d1r，故选A.2直线x7y50截圆x2y21所得的两段弧长之差的绝对值是()A. B.C D.解析：选C圆心到直线的距离d.又圆的半径r1，直线x7y50被圆x2y21截得的弦长为，直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90，劣弧是整个圆周的，直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即2r.3直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(2,3)，则直线l的方程为()Axy50 Bxy10Cxy50 Dxy
15、30解析：选A由圆的一般方程可得圆心为M(1,2)由圆的性质易知M(1,2)与C(2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABkMC1kAB1，故直线AB的方程为y3x2，整理得xy50.4与圆C：x2y24x20相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选C圆C的方程可化为(x2)2y22.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为ykx，则，解得k1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为1(a0)，即xya0(a0)，则，解得a4(a0舍去)因此满足条件的直线共有3条5过直线xy40与圆x2y24
16、x2y40的交点且与yx相切的圆的方程为_解析：设所求圆的方程为x2y24x2y4(xy4)0.联立方程组得x2(1)x2(1)0.因为圆与yx相切，所以0，即(1)28(1)0，则3，故所求圆的方程为x2y27xy80.答案：x2y27xy806过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_解析：圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，示意图如图所示则圆心为O(3,4)，r.切线长|OP|2.|PQ|224.答案：47已知点A(1，a)，圆O：x2y24.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相
17、等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a.当a时，A(1，)，切线方程为xy40；当a时，A(1，)，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb.直线过点A，1ab，即ab1.又圆心到直线的距离d，224，由，得或8已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200.(1)mR时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长解：(1)证明：直线的方程可化为y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点P(4，3)由于42(3)26412(3)20150)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE
18、4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含点睛(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0
19、)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2()答案：(1)(2)(3)(4)2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离解析：选B两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r2，R3，两圆的圆心距离为，则RrRr，所以两圆相交，选B.3已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：圆的方程(x1)2(y3)220可化为x2y22x6y10.又x2y210，两式相减得2x6y0，即x3y0.答案：x3y0圆与圆位置关系的判断典例已知两圆C1：x2y24
20、x4y20，C2：x2y22x8y80，判断圆C1与圆C2的位置关系解法一几何法把圆C1的方程化为标准方程，得(x2)2(y2)210.圆C1的圆心坐标为(2，2)，半径长r1.把圆C2的方程化为标准方程，得(x1)2(y4)225.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r25.圆C1和圆C2的圆心距d 3，又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1r25，两半径长之差是r2r15.而535，即r2r1d4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条答案：4与两圆相交有关的问题典例求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程解法一：解方程组得两圆的交点A(1,3
21、)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线xy40上，故ba4.则有 ，解得a，故圆心为，半径为 .故圆的方程为22，即x2y2x7y320.法二： 圆x2y26y280的圆心(0，3)不在直线xy40上，故可设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入xy40，求得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.1圆系方程一般地过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若
22、圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 活学活用求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x2y40，此为两圆公共弦所在直线的方程法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.法二：
23、由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径长r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长2l2.直线与圆的方程的应用典例为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离解以O为坐标原点，OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建
24、立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2y21，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离此时DE的最小值为1(41)km.求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去 活学活用一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风
25、中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280，圆心(0,0)到l：4x7y280的距离d，因为3，所以直线与圆相离故轮船不会受到台风的影响层级一学业水平达标1已知两圆分别为圆C1：x2y281和圆C2：x2
26、y26x8y90，这两圆的位置关系是()A相离 B相交C内切 D外切解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r19；圆C2的方程化为标准形式为(x3)2(y4)242，圆心为C2(3,4)，半径长r24，所以|C1C2| 5.因为r1r25，所以|C1C2|r1r2，所以圆C1和圆C2内切2两圆x2y2r2，(x3)2(y1)2r2外切，则正实数r的值是()A. B.C. D5解析：选B由题意，知2r ，r.3圆O1：x2y26x16y480与圆O2：x2y24x8y440的公切线条数为()A4条 B3条C2条 D1条解析：选C圆O1为(x3)2(y8)2121，O1(3，8)，r11，
27、圆O2为(x2)2(y4)264，O2(2,4)，R8，|O1O2| 13，rR|O1O2|Rr，两圆相交公切线有2条4圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70解析：选CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A、B、D.5台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h解析：选B如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐
28、标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|20，时间为1 h.6若圆x2y22axa22和x2y22byb21外离，则a，b满足的条件是_解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以1，即a2b232.答案：a2b2327若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.答案：18经过直线xy10与圆x2y2
29、2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_解析：由已知可设所求的圆的方程为x2y22(xy1)0，将(1,2)代入可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.答案：x2y2xy09求与圆C：x2y22x0外切且与直线l：xy0相切于点M(3，)的圆的方程解：圆C的方程可化为(x1)2y21，圆心C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意可知解得所以所求圆的方程为(x4)2y24.10已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解：两圆的标准方程为：
30、(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，解得m2510.(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦长为22.层级二应试能力达标1若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：选C依题意可得圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0的圆心分别为C1(0,0)，C2(3,4)，则|C1C2| 5.又r11，r2，
31、由r1r215，解得m9.2若圆x2y2r2与圆x2y22x4y40有公共点，则r满足的条件是()Ar1C|r|1 D|r|1解析：选D由x2y22x4y40，得(x1)2(y2)21，两圆圆心之间的距离为.两圆有公共点，|r1|r1，1r1，即1r1，|r|1.3圆(x2)2y25关于直线xy10对称的圆的方程为()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x1)2(y1)25 D(x1)2(y1)25解析：选D由圆(x2)2y25，可知其圆心为(2,0)，半径为.设点(2,0)关于直线xy10对称的点为(x，y)，则解得所求圆的圆心为(1，1)又所求圆的半径为，圆(x2)2y25关于直线x
32、y10对称的圆的方程为(x1)2(y1)25.4点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，则|PQ|的最小值是()A5 B1C35 D35解析：选C圆C1：x2y28x4y110，即(x4)2(y2)29，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)24，圆心为C2(2，1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|(r1r2)35.5若圆O：x2y25与圆O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为_解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在RtOO1A中，|OA
33、|，|O1A|2，|OO1|5，|AC|2，|AB|4.答案：46过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程是_解析：设圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心代入l：2x4y10的方程，可得，所以所求圆的方程为x2y23xy10.答案：x2y23xy107已知圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，两圆外切，|O
34、1O2|r1r2，r2|O1O2|r122(1)，圆O2的方程是(x2)2(y1)2128.(2)由题意，设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x4yr80.圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r4或20.圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.8某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系由题意，得A(，)，B(0,2)，设圆的方程为(xa)2(yb)2b2，由A，B两点在圆上，得 或由实际意义知a0，b，圆的方程为x2(y)22，切点为(0,0)，观景点应设在B景点在小路的投影处
