1、第6课时 抛物线的参数方程抛物线的参数方程(1)抛物线 y22px(p0)的参数方程可表示为_(t 为参数)，参数 t 的几何意义：_；(2)抛物线 x22py(p0)的参数方程可表示为_(t为参数)x2pt2，y2pt表示抛物线上除顶点外任意一点(x，y)与原点连线斜率的倒数 x2pt，y2pt2【答案】C1抛物线x4t2，y2t(t 为参数)的焦点坐标是()A0，14 B0，14C14，0 D14，0【解析】化为普通方程为 y2x,2p1，p12，p214，所以焦点坐标为14，0 2参数方程xcos2，ysin(为参数)所表示的曲线为()A抛物线的一部分B一条抛物线C双曲线的一部分 D一条
2、双曲线【答案】A【解析】xy21y2x1，又xcos20,1，方程表示的曲线为抛物线的一部分3参数方程xcos，y1cos 2(为参数)化为普通方程是_【答案】x212y，x1,1【解析】y1cos 22cos22x2，又1cos 1，所以 x212y，x1,14如图，已知点 A(1,0)，P 是曲线x2cos，y1cos 2(R)上一点，设 P 到直线 l：y12的距离为 d，求|PA|d 的最小值【解析】y1cos 22cos2，消去 得 x22y(0y2)，图象是一段抛物线弧，焦点为 F0，12，准线为 l，d|PF|，|PA|d|PA|PF|，当 A，P，F 三点共线时，|PA|d 最
3、小，最小值为|AF|52 有关抛物线的实际问题【例1】设飞机以匀速v150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞行的速度)，求炸弹离开飞机后的轨迹方程【解题探究】选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来【解析】如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为落地点，坐标为(x0,0)记炸弹飞行的时间为 t，在 A 点处，t0.设 M(x，y)为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻 t，炸弹初速度 v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得xv0t，y5884.9t2(t 为参数，g9.8 m/s2)，即x1
4、50t，y5884.9t2(t 为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程准确把握题意，分析物理学中物体的运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题利用抛物线的参数方程解决1若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6 000米，炮弹运行的最大高度为1 200米，求炮弹的发射角的正切值和发射初速度v0(重力加速度g9.8米/秒2)【解析】在以 A 为原点，以直线 AB 为 x 轴的直角坐标系中，弹道方程是xv0tcos，yv0tsin 12gt2(t 为参数且 t0)它经过最高点(3 000,1 200)和点 B(6 000,0)的时间分
5、别为 t0和 2t0，代入参数方程得3 000v0t0cos，1 200v0t0sin 12gt20，02v0t0sin 2gt20，消去 t0，得v20sin cos3 000g，v20sin22 400g.解得 tan 45，v07 1 230(米/秒)【例 2】已 知 抛 物 线 y2 2px(p 0)过 顶 点 的 两 弦OAOB，求以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹【解题探究】利用参数方程设出点A，B的坐标，从而可以迅速得到以OA，OB为直径的两圆的方程，然后解决问题抛物线的轨迹问题【解析】设 A，B 的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)，则以 OA
6、 为直径的圆的方程为 x2y22pxt212pt1y0，以 OB为直径的圆的方程为 x2y22pxt222pt2y0，t1，t2 是方程2pxt22pytx2y20 的两根t1t2x2y22px.又 OAOB，t1t2x2y22px1.x2y22px0.另一交点 Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆 利用参数t的几何意义，由OAOB得t1t21，利用根与系数的关系解决问题2设M是抛物线y22x上的动点，给定点M0(1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程【解析】令 y2t，则 xy22 2t2，得抛物线的参数方程x2t2，y2t.设动点 M(2t2,2t)，定点 M0(1,
7、0)，设 P(x，y)，由中点的坐标公式得x1212t2，y1202t，即x12t2，yt.这就是 P 点的轨迹参数方程化为普通方程是 y2x12，它是以x 轴为对称轴，顶点为12，0 的抛物线【例3】已知抛物线y22px(p0)上存在两点关于直线xy10对称，求p的取值范围【解题探究】两点关于直线对称，一般是利用两点的中点在直线上，两点所在的直线与对称直线垂直抛物线的几何问题【解析】设抛物线上两点 A，B 的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)且关于直线 xy10 对称，则pt21t22pt1t21，2pt1t22pt21t221.由得 t1t21，代入得 t21t2
8、21pp 0，所以 0p1又t21t222t1t222，得1pp 12，所以 00)上异于顶点的两动点且OAOB，点A，B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？【解析】根据题意，抛物线 y2 2px 的参数方程为x2pt2，y2pt(t 为参数)，设点 A，B 的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1t2 且 t1t20)，则|OA|2pt2122pt122p|t1|t211，|OB|2pt2222pt222p|t2|t221因为 OAOB，所以 O AO B0，即 2pt212pt222pt12pt20.所以 t1t21AOB 的面积为SAOB12|OA|OB|122p|t1|t2112p|t2|t2212p2|t1t2|t211t2212p2 t21t2222p2t211t2122p2 224p2当且仅当 t211t21，即 t11，t21 时，等号成立所以点 A，B 的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)时，AOB的面积最小，最小值为 4p21参数方程的形式不唯一，可通过转化为普通方程判断2要注意参数的取值范围点击进入WORD链接
