1、上海市金山中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分)1.集合有_个子集.【答案】8【解析】【分析】集合a,b,c的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,包括空集得到结论【详解】集合a,b,c的子集有:,a,b,c,a,b,a,c,c,b,a,b,c共8个故答案为:8【点睛】本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的子集共有2n个2.不等式的解集是 .【答案】【解析】由.3.已知命题P是“若实数a
2、、b满足且,则”,则命题P的否命题是_.【答案】若实数a、b满足或,则【解析】【分析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得:“若且,则”的否命题为“若a1或b2,则a+b3”,故答案为:若实数a、b满足或,则【点睛】本题考查四种命题的关系,考查了否命题的形式,注意含“且”的命题,否定时要变为“或”,是易错题4.已知集合,则_【答案】【解析】【分析】求出集合A,B,即可得到.【详解】由题集合 集合 故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算,属基础题5.已知,则“”是“”的_条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【解析】【
3、分析】当c0时,abac2bc2;当ac2bc2时,说明c0,有c20,得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边【详解】必要不充分条件当c0时,abac2bc2;反之当ac2bc2时,说明c0,则c20,得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边,所以“”是“”的必要非充分条件.故答案为:必要非充分【点睛】本题考查了充分必要条件的判断,解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系,是基础题6.已知,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出可行域,目标函数z=a-b可化b=a-z,经平移直线可得结论【详解】作出所对应的可行域,即 (如图阴影),
4、目标函数z=a-b可化为b=a-z,可看作斜率为1的直线,平移直线可知,当直线经过点A(1,-1)时,z取最小值-2,当直线经过点O(0,0)时,z取最大值0,a-b的取值范围是,故答案为:【点睛】本题考查线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题7.已知函数,且=3,则= 【答案】1【解析】试题分析:设,则是奇函数,所以,即,考点:函数的奇偶性8.已知不等式的解集是,则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式的解集是,求得的值,从而求解不等式的解集,得到答案.【详解】由题意,因为不等式的解集是,可得,解得,所以不等式为,即,解得,即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了一元二次
5、不等式的解法,其中解答中根据三个二次式之间的关键,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛,参加A项的有30人,参加B项的有33人,且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人,则只参加A项,没有参加B项的学生有_人【答案】9【解析】【分析】利用方程思想,设A、B都参加的同学为x人,则可分别得到只参加A,不参加B,只参加B,不参加A,以及AB都不参加的人数,然后利用人数关系建立方程,求解即可【详解】设A、B都参加的同学为x人,则只参加A,不参加B的为,只参加B,不参加A的为,则AB都不参加的人数为因为A、B都不参加的同
6、学比A、B都参加的同学的三分之一多一人,所以,解得所以只参加A项,没有参加B项的学生有故答案为:9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算,利用维恩图是解决此类问题的基本方法,比较基础10.若关于x不等式的解集是R,则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对x2的系数分类讨论:当a2时,直接得出;当a2时,根据二次函数的图象性质,得到关于a的不等式组,解出即可【详解】当a2时,不等式化为40对于任意实数x都成立,因此a2满足题意;当a2时,要使关于x的不等式(a2)x2+2(a2)x40的解集为R,则,化为,解得2a2故答案为(2,2【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题,考查二次函数的图
7、象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法,属于基础题11.已知函数,(),若不存在实数使得和同时成立,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】通过f(x)1和g(x)0,求出集合A、B,利用AB=,求出a的范围即可【详解】由f(x)1,得1,化简整理得 ,解得 即的解集为A=x|-2x-1或2x3由g(x)0得x2-3ax+2a20,即(x-a)(x-2a)0,g(x)0的解集为B=x|2axa,a0由题意AB=,因此a-2或-12a0,故a的取值范围是a|a-2或-a0即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法,二次不等式的解法,集合的交集运算,考查分析问题解决问题的能力12.已知数集(,
8、)具有性质:对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,现给出以下四个命题:数集具有性质;数集具有性质;若数集具有性质,则;若数集()具有性质,则;其中真命题有_(填写序号)【答案】【解析】【分析】利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A即可判断出结论【详解】数集中,故数集不具有性质;数集满足对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,故数集具有性质; 若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项,0a1a2an,n3,而2an不是该数列中的项,0是该数列中的项,a1=0;故正确;当 n=5时,取j=5,当i2时,ai+a5a5,由A具有性质P,
9、a5-aiA,又i=1时,a5-a1A,a5-aiA,i=1,2,3,4,50=a1a2a3a4a5,a5-a1a5-a2a5-a3a5-a4a5-a5=0,则a5-a1=a5,a5-a2=a4,a5-a3=a3,从而可得a2+a4=a5,a5=2a3,故a2+a4=2a3,即答案为.【点睛】本题考查数列的综合应用,此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属中档题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图,为全集,、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A. B. C D
10、. 【答案】C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是MP的子集,但不属于集合S,属于集合S的补集,然后用关系式表示出来即可【详解】图中的阴影部分是: MP的子集,不属于集合S,属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是(MP)(US).故选:C【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对应关系都相同,所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可【详解】对于A选项,f(x)的定义域为R,
11、g(x)的定义域为0,+),不是同一函数对于B选项,f(x),(x2,或x2)和g(x),(x2)定义域不同,不是同一函数;对于C选项,当x=0时,对应关系不同,不是同一函数对于D选项,f(x)的定义域与g(x)的定义域均为1,且f(x)g(x)是同一函数故选:D【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断,只有三要素都相同,两函数才为同一函数,属基础题15.已知是R上的偶函数,且当 ,则时, ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由x0得x0,代入已知式子得f(x),由偶函数f(x)f(x),可得f(x)的解析式【详解】设x0,则x0, ,又yf(x)是R上的偶函数,f(x)f(
12、x),当x0时,故选:B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识,是基础题目16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解:对于A,由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,当速度大于40km/h时,
13、消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5km,故A错误;对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80km,燃油为8升,故C错误;对于D,由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,用丙车比用乙车更省油,故D正确故选:D考点:1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的
14、步骤17.已知集合,7,且,求集合B【答案】1,4,【解析】【分析】由,得到或舍,从而得,分别代入集合A和B,利用集合中元素的互异性能求出集合B【详解】集合,7,且,或舍,解得,当时,5,不成立;当时,5,7,1,成立集合1,4,【点睛】本题考查集合的求法,考查元素与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题18.“,求证”除了用比较法证明外,还可以有如下证法: (当且仅当时等号成立), 学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若,则,并指出等号成立的条件;(2)试将上述不等式推广到个正数的情形,并加以证明.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(
15、1)根据题设例题证明过程,类比bca可得证明,(2)根据题设例题证明过程,类比bca可得证明【详解】(1),当且仅当abc时等号成立;(2)a2a3a12a1+2a2+2an1+2an,当且仅当a1a2an1an时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了不等式的证明和类比的思想,属于中档题19.某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足: 与和的乘积成正比; 当时,;,其中为常数,且.(1)设,求出的表达式,并求出的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的
16、技术改造投入的的值.【答案】(1),;(2).【解析】分析】(1)列出f(x)的表达式,求函数的定义域时,要注意条件的限制性(2)本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值,结合二次函数的图象及单调性解决,注意分类讨论【详解】(1)设,当 时,可得k=4, 定义域为,t为常数,;(2)因为定义域中 函数在上单调递减,故.【点睛】本题考查函数的应用问题,函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想,牵扯字母太多,容易出错20.对于函数,若,则称为的“不动点”;若,则称为的“稳定点”函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,()设函数,求集合和()求证:()设函数,且,求证:【答案】(),;(
17、)证明见解析;(证明见解析【解析】分析】()由,解得,;由,解得,;()若,则成立;若,设为中任意一个元素,则有,可得,故,从而可得结果;()当时,的图象在轴的上方,可得对于,恒成立,则当时,的图象在轴的下方,可得对于任意,恒成立,则【详解】()由,得,解得,由,得,解得,()若,则成立,若,设为中任意一个元素,则有,故,()由,得方程无实数解,当时,的图象在轴的上方,所以任意,恒成立,即对于任意,恒成立,对于,则有成立,对于,恒成立,则当时,的图象在轴的下方,所以任意,恒成立,即对于,恒成立,对于实数,则有成立,所以对于任意,恒成立,则,综上知,对于,当时,【点睛】本题主要考查集合的性质以及
18、二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用,考查了分类讨论思想,属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21.设数集由实数构成,且满足:若(且),则.(1)若,试证明中还有另外两个元素;(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.【答案】(1) ,;(2)见解析;(3).【解析】【分析】(1)根据集合的互异性进行求解,注意条件2A,把2代入进行验证;(2)可以假设A为单元素集合,求出其等价条件,从而进行判断;(3)先求出集合A中元素的个数,=1,求出x的值,从而求出集合A【详解】(1)证明:若xA,则 又2A,-1A,A中另外两个元素为,;(2),且,故集合中至少有3个元素,不是双元素集合;(3)由,可得 ,所有元素积为1,、,.【点睛】本题考查了元素和集合的关系,考查集合的含义,分类讨论思想,是一道中档题