1、上海市金山中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合有_个子集.【答案】8【解析】【分析】集合a，b，c的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论【详解】集合a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，c，b，a，b，c共8个故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个2.不等式的解集是 .【答案】【解析】由.3.已知命题P是“若实数a
2、、b满足且，则”,则命题P的否命题是_.【答案】若实数a、b满足或，则【解析】【分析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若且，则”的否命题为“若a1或b2，则a+b3”，故答案为：若实数a、b满足或，则【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题4.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合 集合 故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题5.已知，则“”是“”的_条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【解析】【
3、分析】当c0时，abac2bc2；当ac2bc2时，说明c0，有c20，得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边【详解】必要不充分条件当c0时，abac2bc2；反之当ac2bc2时，说明c0，则c20，得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“”是“”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题6.已知，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b可化b=a-z，经平移直线可得结论【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），
4、目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，a-b的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题7.已知函数，且=3，则= 【答案】1【解析】试题分析：设，则是奇函数，所以，即，考点：函数的奇偶性8.已知不等式的解集是，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式的解集是，求得的值，从而求解不等式的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式的解集是，可得，解得，所以不等式为，即，解得，即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了一元二次
5、不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有_人【答案】9【解析】【分析】利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只参加A，不参加B，只参加B，不参加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可【详解】设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的为，则AB都不参加的人数为因为A、B都不参加的同
6、学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，所以，解得所以只参加A项，没有参加B项的学生有故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础10.若关于x不等式的解集是R,则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对x2的系数分类讨论：当a2时，直接得出；当a2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a的不等式组，解出即可【详解】当a2时，不等式化为40对于任意实数x都成立，因此a2满足题意；当a2时，要使关于x的不等式（a2）x2+2（a2）x40的解集为R，则，化为，解得2a2故答案为（2，2【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图
7、象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题11.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】通过f（x）1和g（x）0，求出集合A、B，利用AB=，求出a的范围即可【详解】由f（x）1，得1，化简整理得 ，解得 即的解集为A=x|-2x-1或2x3由g（x）0得x2-3ax+2a20，即（x-a）（x-2a）0，g（x）0的解集为B=x|2axa，a0由题意AB=，因此a-2或-12a0，故a的取值范围是a|a-2或-a0即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力12.已知数集（，
8、）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：数集具有性质；数集具有性质；若数集具有性质，则；若数集（）具有性质，则；其中真命题有_（填写序号）【答案】【解析】【分析】利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A即可判断出结论【详解】数集中，故数集不具有性质；数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质； 若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，0a1a2an，n3，而2an不是该数列中的项，0是该数列中的项，a1=0；故正确；当 n=5时，取j=5，当i2时，ai+a5a5，由A具有性质P，
9、a5-aiA，又i=1时，a5-a1A，a5-aiA，i=1，2，3，4，50=a1a2a3a4a5，a5-a1a5-a2a5-a3a5-a4a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即答案为.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图，为全集，、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C D
10、. 【答案】C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是MP的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可【详解】图中的阴影部分是： MP的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是（MP）(US).故选：C【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可【详解】对于A选项，f（x）的定义域为R，
11、g（x）的定义域为0，+），不是同一函数对于B选项，f（x），（x2，或x2）和g（x），（x2）定义域不同，不是同一函数；对于C选项，当x=0时，对应关系不同，不是同一函数对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为1，且f（x）g（x）是同一函数故选：D【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题15.已知是R上的偶函数,且当 ,则时, ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由x0得x0，代入已知式子得f（x），由偶函数f（x）f（x），可得f（x）的解析式【详解】设x0，则x0， ，又yf（x）是R上的偶函数，f（x）f（
12、x），当x0时，故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，当速度大于40km/h时，
13、消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确故选：D考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的
14、步骤17.已知集合，7，且，求集合B【答案】1，4，【解析】【分析】由，得到或舍，从而得，分别代入集合A和B，利用集合中元素的互异性能求出集合B【详解】集合，7，且，或舍，解得，当时，5，不成立；当时，5，7，1，成立集合1，4，【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题18.“,求证”除了用比较法证明外,还可以有如下证法: (当且仅当时等号成立), 学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若，则,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到个正数的情形,并加以证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（
15、1）根据题设例题证明过程，类比bca可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比bca可得证明【详解】（1），当且仅当abc时等号成立；（2）a2a3a12a1+2a2+2an1+2an，当且仅当a1a2an1an时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足： 与和的乘积成正比； 当时，；，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的
16、技术改造投入的的值.【答案】（1），；（2）.【解析】分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件的限制性（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论【详解】（1）设，当 时，可得k=4， 定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中 函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错20.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，（）设函数，求集合和（）求证：（）设函数，且，求证：【答案】（），；（
17、）证明见解析；（证明见解析【解析】分析】（）由，解得，；由，解得，；（）若，则成立；若，设为中任意一个元素，则有，可得，故，从而可得结果；（）当时，的图象在轴的上方，可得对于，恒成立，则当时，的图象在轴的下方，可得对于任意，恒成立，则【详解】（）由，得，解得，由，得，解得，（）若，则成立，若，设为中任意一个元素，则有，故，（）由，得方程无实数解，当时，的图象在轴的上方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于，则有成立，对于，恒成立，则当时，的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则，综上知，对于，当时，【点睛】本题主要考查集合的性质以及
18、二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A【详解】（1）证明：若xA，则 又2A，-1A，A中另外两个元素为，；（2），且，故集合中至少有3个元素，不是双元素集合；（3）由，可得 ，所有元素积为1，、，.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题
