1、单元素养检测(二) (第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.如果函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为()A.-1,0,3B.y|-1y3C.0,1,2,3D.y|0y3【解析】选A.x=0时,y=0;x=1时,y=-1;x=2时,y=0;x=3时,y=3,所以所求函数的值域为-1,0,3.2.函数f(x)在区间-2,5上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.-2,f(2)B.2,f(2)C.-2,f(5)D.2,f(5)【解析】选C.由函数最值的几何意义知,当
2、x=-2时,有最小值-2;当x=5时有最大值f(5).3.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数是()A.y=B.y=x4C.y=x-1D.y=x3【解析】选B.选项A中y=是非奇非偶函数,选项C中y=x-1是奇函数,对于选项D中y=x3也是奇函数,均不满足题意;选项B中y=x4是偶函数,且过点(0,0),(1,1),满足题意.4.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为()A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-3【解析】选B.设f(x)=kx+b(k0),所以f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,即k
3、x-k+b=3x-5,所以解得k=3,b=-2,所以f(x)=3x-2.5.已知函数f(x)=则f(f(1)等于()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为f(x)=所以f(1)=2+1=3,所以f(f(1)=f(3)=32-23=3.【补偿训练】定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=3,则奇函数f(x)的值域是()A.(-,-3B.3,+)C.-3,3D.-3,0,3【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,设x0,f(-x)=-f(x)=3,所以f(x)=-3,所以f(x)=所以奇函数f(x)的值域是-3,0,3.6.若函数f(x
4、)对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上是单调递减的,则()A.ff(-1)f(2)B.f(-1)ff(2)C.f(2)f(-1)fD.f(2)ff(-1)【解析】选B.因为函数f(x)对于任意实数x总有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2),又因为f(x)在区间(-,-1上是单调递减的且-2-1,所以f(-1)ff(-2).即f(-1)ff(2).【补偿训练】定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)(x1x2),有0,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D
5、.f(3)f(1)f(-2)【解析】选A.任意的x1,x20,+)(x1x2),有210,所以f(3)f(-2)0,且3-a0,可得00时,由3-2x=x2-2x得x=结合图象可得增区间是(-,2-)和(1,),减区间是(2-,1)和(,+).三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若函数f(x)的定义域为-1,2,则函数f(3-2x)的定义域为_.【解析】由-13-2x2,解得x2,故定义域为,2.答案:,214.若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则f(x)的增区间是_.【解析】因为函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+
6、3是偶函数,所以a-1=0,得a=1,所以f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以y轴为对称轴的抛物线.故f(x)的增区间为(-,0.答案:(-,015.已知函数f(2x+1)=3x+2,则f(1)的值等于_.【解析】由f(2x+1)=3x+2,得f(1)=f(20+1)=30+2=2.答案:216.已知函数f(x)=,则f(1)=_,函数y=f(x)的定义域为_.【解析】由函数f(x)=,可得f(1)=2,解得x5且x0.则函数y=f(x)的定义域为(-,0)(0,5.答案:2(-,0)(0,5【补偿训练】已知幂函数f(x)=(-2m0,解得:-3m1.因为-2m2,mZ,所以m=-1
7、或m=0.又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时,-m2-2m+3=4满足题意,当m=0时,-m2-2m+3=3不满足题意,所以f(x)=x4,所以f(x)在0,4上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,所以值域是0,256.四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得
8、a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)函数f(x)在R上是减函数.任取x1x2(x1,x2R),则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因为x1x2,所以f(x2)-f(x1)2,求x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1)=f(4)=44=16.(2)当x00时,令2-x0+3,得x00时,令2,所以x00或x0.所以x0的取值范围是x|x00或x0.18.(12分)已知函数f(x)=x+.(1)求f(-2 0
9、20)+f(-2 019)+f(-2 018)+f(-2 017)+f(-1)+f(1)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)的值.(2)证明:f(x)在(1,+)上为单调递增的.【解析】(1)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,又因为f(-x)=-x+=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以f(-2 020)+f(-2 019)+f(-2 018)+f(-2 017)+f(-1)+f(1)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=0.(2)任取x1,x2(1,+),且x1
10、x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2)+=(x1-x2)-=(x1-x2).因为x1,x2(1,+),x1x2,所以x1-x20,x1x2-10,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)在(1,+)上为单调递增的.19.(12分)经市场调查,某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量满足f(t)=价格满足g(t)=200-t(1t100,tN).(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系;(2)若销售额超过16 610元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪
11、几天的收益达到理想程度?【解析】(1)由题意知,当1t60时,tN时,h(t)=f(t)g(t)=(60+t)(200-t)=-t2+140t+12 000,当61t100,tN时,h(t)=f(t)g(t)=(200-t)=t2-250t+30 000,所求函数关系h(t)=(2)当1t60,tN时,h(t)=-t2+140t+12 000=-(t-70)2+16 900,所以函数h(t)在1,60上单调递增,所以h(t)max=h(60)=16 800(元),当61t100,tN时,h(t)=t2-250t+30 000=(t-250)2-1 250,所以函数h(t)在61,100上单调递
12、减,所以h(t)max=h(61)=16 610.5(元),若销售额超过16 610元,当61t100时,函数单调递减,故只有第61天满足条件.当1t60时,经计算h(53)=16 611满足条件,又函数h(t)在1,60上单调递增,所以第53,54,60天,满足条件.即满足条件的天数为第53,54,60,61天,共9天.20.(12分)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2.(1)当a=1,x1,3时,求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在区间0,1内有最大值-5,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=-4x2+4x-5的对称轴x=,开口向下,x1,3时,函数f(x)单调递
13、减,当x=1时,函数有最大值f(1)=-5,当x=3时,函数有最小值f(3)=-29,故函数f(x)的值域为-29,-5.(2)因为f(x)=-4x2+4ax-4a-a2的开口向下,对称轴x=a,当a1,即a2时,f(x)在0,1上单调递增,函数取最大值f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=12(舍去).当0a1,即0a2时,x=a时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=(0,2).当a0,即a0时,f(x)在0,1内递减,所以x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5(-,0.综上所述
14、,a=或a=-5.【补偿训练】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足条件f(0)=0和f(x+2)-f(x)=4x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若函数g(x)=f(x)-2mx+2,当x1,+)时,求函数g(x)的最小值.【解析】(1)由题意得,c=0,a(x+2)2+b(x+2)-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x,即a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.(2)g(x)=x2-2x-2mx+2,x1,+),对称轴方程为:x=m+1,当m+11时,即m0,g(x)min=g(1)=1-2m,当10,g(x)min=g(m+1)=-m2-2m+1,综上,g(x)min=2
15、1.(12分)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0,若f=0,求f()及f(2)的值.【解析】令x=y=0,则f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0),即2f(0)1-f(0)=0.因为f(0)0,所以f(0)=1.令x=y=,则有f()+f(0)=2ff,因为f=0,所以f()+f(0)=0,所以f()=-f(0)=-1.令x=y=,则有f(2)+f(0)=2f()f(),所以f(2)=2(-1)(-1)-1=2-1=1.22.(12分)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求b的值.(2)证明:函数f(x)在区间(1,+)上是单调递减的.(3)
16、解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)0.【解析】(1)因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b=0.(2)由(1)可得f(x)=,下面证明函数f(x)在区间(1,+)上是单调递减的.证明:设x2x11,则有f(x1)-f(x2)=-=.再根据x2x11,可得1+0,1+0,x1-x20,1-x1x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(1,+)上是单调递减的.(3)由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)0,可得f(1+2x2)-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4)=f(x-1)2+3,再根据函数f(x)在区间(1,+)上是单调递减的,可得1+2x2x2-2x+4,求得-3x1,故不等式的解集为x|-3x1.
