1、银川二十四中2021届高三年级上学期第二次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，所以
2、 ，所以，即，解得或，所以 “”是“”必要不充分条件.故选：B3. 设是复数，则以下命题中的真命题的个数是（ ）若，则 若，则若，则 若，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设，利用复数的运算求解逐项验证.【详解】设，若，解得，则，故正确； 若，即，解得，即，则，故正确；若，则，即则，故正确； 若，则，而，故错误；故选：C4. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，当时，可知是周期为4的函数，进而可知，然后代入时的解析式计算即可得解.【详解】当时，则是周期为4的函数，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查分段函数与函数性质的综合应
3、用，分段函数求值的做法是先判断自变量所在的范围，然后再将自变量代入相应的解析式进行求值，属于常考题.5. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊值排除可得答案.【详解】由已知可得函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故可排除C，D；又当时，故可排除A故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.6. 已知角与的终边关于直线对称，若角终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出、，又角与角的终边关于直线对称的终边经过点，再求出、的值，再利用两角差的余弦公式计算可
4、得【详解】解：因为角终边经过点，所以、；又角与角的终边关于直线对称，所以的终边经过点，所以、；所以故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，如角的终边与单位圆相交于点，则、；7. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式可得，再根据同角三角函数的基本关系，即可求出，从而得解；【详解】解：因为所以，所以所以，所以因为，所以，所以故选：B【点睛】公式点睛：同角三角函数的基本关系以及诱导公式和二倍角公式；8. 已知和是方程的两个实数根，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，利用韦达定理求得m，然后再由，求解.【详
5、解】因为和是方程的两个实数根，所以，所以，即，即，所以，.故选：C9. 函数的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导分析单调性即可求出函数的最值【详解】解：因为，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，有最小值，又，当时，有最小值，且故选：C【点睛】本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平
6、均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，则.故选：A.【点睛】本题考查圆周率近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11. 定义在上的函数满足，且时，设， ，则以下判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据满足，得
7、到函数的图象，再利用导数法得到在上递减，在递增求解.【详解】因为定义在上的函数满足，所以函数的图象，当时，所以在上递减，在递增，因为 ，所以，即故选：C12. 设函数是函数的导函数，若对于任意的，恒有，则函数的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】设，利用导数判断函数在上单调递减，函数在上单调递增，从而可得，即可判断零点个数为0.【详解】设，则.因为对于任意的，恒有，所以当时，函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增，所以，所以函数没有零点，故也没有零点.故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，考查了基本运算求解能力，属于基础题.二、填空题（本大
8、题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若变量，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平行该直线可得最优解【详解】作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示作直线，由可得，平移直线，可知当直线过点时，取得最大值，最大值为6故答案为：6【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作目标函数对称的直线，平移该直线后可得最优解14. 函数在处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】先求导，代入得到斜率，利用点斜式写出切线方程即可.【详解】，在处切线的斜率为，由点斜式可得，在处切线方程为，即，故答案为：.【点晴】方法点晴：利用导数求曲线切
9、线方程.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.15. 由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为_.【答案】【解析】试题分析：由定积分知考点：定积分及其几何意义16. 关于函数有如下四个命题：函数的图象关于轴对称；函数的图象关于直线对称；函数的最小正周期为；函数的最小值为.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】判断函数的奇偶性，可判断的正误；计算出与的等量关系，可判断的正误；计算出，可判断的正误；取可判断的正误.【详解】对于，函数的定义域为，定义域关于原点对称，函数为
10、奇函数，该函数的图象关于原点对称，错误；对于，对任意的，所以，函数的图象不关于直线对称，错误；对于，对任意，所以，函数的最小正周期为，正确；对于，当时，此时，错误.故答案为：.【点睛】求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“，”的形式，再利用周期公式即可.三、解答题（共70分）17. 已知为锐角，（）求值;（）求的值【答案】（）【解析】【分析】（）结合，求解即可；（）先求，进而得，利用两角和的正切公式展开求解即可【详解】（），（）为锐角，而【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，两角和的正切公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础
11、题18. 已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）定义域为，最小正周期；（2）函数的减区间为，增区间为.【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为即可求出周期；（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域即可求出.【详解】（1）.，即函数的定义域为，则，则函数的周期；（2）由，得，即函数的增区间为，当时，增区间为，此时，由，得，即函数的减区间为，当时，减区间为，此时，即在区间上，函数的减区间为，增区间为.【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.19. 倡
12、导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据
13、：取）【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为，得到，然后再令求解.（2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，得到求解.【详解】（1）由题意得，所以当时，即，解得，所以，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得，整理得，即，两边同时取常用对数，得，整理得，取代入，得，又因为，所以.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为
14、yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解20. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，讨论的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设，则有，构造函数，利用导数判断出函数单调递增，从而可得，再由即可求解.【详解】解：（1）易得函数的定义域为.对函数求导得：.当时，恒成立，即可
15、知在上单调递增；当时，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，此时上单调递增，在上单调递减.，又，不妨设，则有，令，.当时，单调递增，又，在上单调递减，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，属于难题.21. 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）射线OP：（其中）与C2交于P点，射线OQ：与C2交于Q点，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的直角坐标系方程，从而能求出曲线
16、C1的极坐标方程；曲线C2的极坐标方程转化为，由此能求出曲线C2的直角坐标方程（2）点P的极坐标分别为，求出|OP|，点Q的极坐标分别为，求出|OQ|，由此能求出的值【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标系方程为，所以曲线的极系方程为；因为，所以，所以曲线的直角坐标系方程为. （2）依题意得，点的极坐标分别为，所以，点的极坐标分别为，所以，所以.【点睛】本题考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化等基础知识，极坐标方程的应用，考查运算求解能力，属于中档题22. 设，且.（1）证明：； （2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1
17、）用柯西不等式，直接证明不等式成立（2）用柯西不等式，求出的最小值，即可求出参数的取值范围【详解】解：（1）因为，且.所以，所以，当且仅当时，等号成立（2），所以，当且仅当时，等号成立所以故的最大值为【点睛】利用柯西不等式求最值先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一
