1、考点规范练43直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.30B.532C.42D.332.(多选)当实数m变化时,圆x2+y2=1与圆(x-m)2+(y-1)2=4的位置关系可能是()A.外离B.外切C.相交D.内含3.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()A.y=-34B.y=-12C.y=-32D.y=-144.(多选)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是()5.已知直线y=x+m与圆O:x2+y2=
2、16相交于M,N两点,若MON23,则m的取值范围是()A.-2,2B.-4,4C.-22,22D.0,226.如果圆x2+y2=1与圆x2+y2-2ax-2by+a+b=4有且只有一条公切线,那么1a+2b的最小值为()A.1B.3+22C.5D.427.已知圆C1:x2+y2-2x+10y+10=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为,公共弦AB长度为.8.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得
3、以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.二、综合应用11.(2020全国,理11)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=012.直线x+2y+m=0(m0)与O
4、:x2+y2=5交于A,B两点,若|OA+OB|2|AB|,则m的取值范围是()A.(5,25)B.(25,5)C.(5,5)D.(2,5)13.(多选)已知圆M:(x-1-cos )2+(y-2-sin )2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下列说法正确的是()A.对任意实数k与,直线l和圆M有公共点B.存在实数k与,直线l和圆M相离C.对任意实数k,必存在实数,使得直线l与圆M相切D.对任意实数,必存在实数k,使得直线l与圆M相切14.若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.15.已知圆C:(x-a)2
5、+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为;若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=2|PQ|,则实数a的取值范围是.16.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.17.如图,台风中心从A地以20千米/时的速度向北偏
6、东45方向移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:(1)求台风中心移动路径所在的直线方程;(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?三、探究创新18.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点()A.49,89B.29,49C.(1,2)D.(9,0)19.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,|AB|=|AC|
7、=4,点B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则下列说法正确的是()A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为22B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为32C.若点(x,y)在圆M上,则x+3y的最小值为3-22D.若圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围为1-22,1+22考点规范练43直线与圆、圆与圆的位置关系1.A圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=10,圆心(1,3)到直线x-3y+3=0的距离d=|1-9+3|10=510,故弦长为210-2510=30.故选A
8、.2.ABC因为圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆(x-m)2+(y-1)2=4的圆心为(m,1),半径为2,所以圆心距d=m2+11=2-1,所以这两个圆的位置关系不可能是内含.3.B圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|=(1-1)2+(-2-0)2=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-12.4.AD圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=|-a2+a|a2+1,令|-a2+a|a2+1|a|,可得|1-a|a2+11,即1
9、-2a+a20.则当a0时,直线与圆相交,故A正确,C不正确;当a0,b0,所以1a+2b=1a+2b(a+b)=3+ba+2ab3+22,当且仅当a=2-1,b=2-2时,等号成立.故1a+2b的最小值为3+22.7.2x+y+3=0112圆C1的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=16,则圆心为C1(1,-5),半径为4;圆C2的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,则圆心为C2(-1,-1),半径为1.线段AB的垂直平分线为直线C1C2,其方程为y+1=-5+11+1(x+1),即2x+y+3=0.两圆的方程相减,得线段AB所在直线的方程为4x-8y-9=0,所以圆心C2(-1,-
10、1)到直线AB的距离为d=|-4+8-9|42+82=54,所以|AB|=21-d2=21-516=112.8.32由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,P(1,3),PBx轴,|PA|=|PB|=3.又POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=3,OPA=30,APB=60.PAPB=|PA|PB|cosAPB=33cos60=32.9.43圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,即|4k-2|k2+12,整理得3k2-4k0,解得0k43.故k的最大值是43.10.解圆C的标准方程为
11、(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-34,故l的方程为y-3=-34(x-1),即3x+4y-15=0.综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设点P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理
12、,得2x-4y+1=0,所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.11.D由已知得M:(x-1)2+(y-1)2=4.因为S四边形PAMB=12|PM|AB|=2SPAM=|PA|AM|=2|PA|=2|PM|2-4,所以|PM|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=12x+12,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=(1+1)2+(1-0)2=5,在RtAPM中,|AP|=|PM|2-|AM|2=1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为M与P的公共弦,P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y
13、2=0.两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.12.B直线x+2y+m=0(m0)与O:x2+y2=5交于A,B两点,点O到直线x+2y+m=0(m0)的距离d2|AB|,2d2|AB|,即d|AB|=25-d2,解得d2.又d5,2d5,即2|m|50,m(25,5).13.AC对于A,根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cos,2+sin),半径为1.无论取何值,都有(1-1-cos)2+(2-2-sin)2=1,从而圆M过定点(1,2).又因为kx-y-k+2=0可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点.对于B,圆心
14、到直线l的距离d=|k(1+cos)-(2+sin)-k+2|k2+1=|kcos-sin|k2+1=|k2+1(sincos-cossin)|k2+1=|sin(-)|1=r(其中sin=kk2+1,cos=1k2+1),从而不存在实数k与,使直线与圆M相离,所以不正确.对于C,因为对任意实数k,tan=k,所以必存在实数,使d=|sin(-)|=sin2+k0=1=r,k0Z,即直线l与圆M相切,所以正确.对于D,对任意实数,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如=0时,k不存在,所以不正确.14.4如图,由题意可知O1AOA,ABOO1,|AB|=2|AC|.|OA|=5,|O1A|
15、=25,|OO1|=5.在RtOO1A中,|AC|=|OA|O1A|OO1|=2,|AB|=2|AC|=22=4.15.23-32,3+32当a=1时,圆心C(1,0),r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-2|1+1=22,所以弦长=2r2-d2=21-12=2.设P(m,-m+2),如图,过点P作PBx轴,则有|PA|=2|PB|,又因为|PA|=2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,由题意可知关于m的该方程有解,
16、则=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-120,解得3-32a3+32.16.解(1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b0),且(6-6)2+(b-7)2=b+5.解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.又|BC|=|OA|=22+42=25,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d=52-|BC|22=25-5=25,所以|26-7+m|22+(-1)2=25,解得m=5或m=-15.
17、故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.(3)由TA+TP=TQ,可知TA=PQ,因为P,Q为圆M上的两点,所以|PQ|2r=10.所以|TA|=|PQ|10,即(t-2)2+4210,解得2-221t2+221.故实数t的取值范围为2-221,2+221.17.解(1)如图,以B为原点,建立平面直角坐标系,由题意可知台风中心移动路径所在的直线的斜率为1,点A(-400,0),故台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400.(2)以B为圆心,300为半径作圆,和直线y=x+400相交于A1,A2两点.可以认为,当台风中心移到A1时,城市B开始处于危险区域,直到台风中心移到A2时解除影响
18、.因为点B到直线y=x+400的距离d=2002,所以|A1A2|=23002-(2002)2=200,而20020=10(小时),所以城市B处于危险区域的时间是10小时.18.C因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2m,m).因为PA,PB为圆O:x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OAPA,OBPB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,所以AB是圆O和圆C的公共弦.易知圆C的方程为x-9-2m22+y-m22=(9-2m)2+m24,两圆的方程相减,得(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程为(2m-9)x-my+9=0,可化为m(2x-y)+
19、(-9x+9)=0,由2x-y=0,-9x+9=0得x=1,y=2.所以直线AB恒过定点(1,2).故选C.19.ACD因为|AB|=|AC|,所以ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线,由点B(-1,3),C(4,-2)可得线段BC的中点为32,12,且kBC=3+2-1-4=-1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为ABC的“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r0)相切,所以圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=|3-1|12+(-1)2=2,所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离为|3+3
20、|2=32.A中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为32-2=22,所以A正确.B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为32+2=42,所以B不正确.C中,令t=x+3y,即y=t-x3,代入圆M的方程(x-3)2+y2=2,可得(x-3)2+(t-x)23=2,整理可得4x2-(18+2t)x+t2+21=0,因为点(x,y)在圆M上,所以4x2-(18+2t)x+t2+21=0有根,所以=(18+2t)2-44(t2+21)0,整理可得t2-6t+10,解得3-22t3+22,所以t的最小值为3-22,即x+3y的最小值为3-22,所以C正确.D中,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心坐标为(a+1,a),半径为22,圆M的圆心坐标为(3,0),半径为2,要使圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则圆心距d22-2,22+2,即圆心距d2,32,所以2(a+1-3)2+a232,解得1-22a1+22,所以D正确.
