1、章末目标检测卷八解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.与直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程为()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.已知椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),则椭圆M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.423.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心
2、P的轨迹方程为()A.y2-4x+4y+8=0B.y2-2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-1=04.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=15.已知点M是抛物线y2=x上的动点,点N是圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的曲线C上的一点,则|MN|的最小值是()A.112-1B.102-1C.2D.3-16.已知椭圆C1:x2a2+y2b2
3、=1(ab0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,双曲线C2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若椭圆C1恰好将线段AB三等分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=27.已知F1,F2分别是双曲线x2-y2b2=1(b0)的左、右焦点,过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P.若点P在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(3,+)C.(1,3)(2,+)D.(2,+)8.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=
4、2|FB|,则k等于()A.13B.223C.23D.23二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是()A.方程表示的是圆B.当a0时,方程表示的圆过原点C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称D.方程表示的圆的圆心在x轴上10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是()A.-2B.-1C.3D.411.设P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则()A.
5、|PF1|+|PF2|=22B.-2|PF1|-|PF2|8C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值为3D.OAB的面积的最小值为2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知P1,P2,P8是抛物线y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,x8,F为抛物线的焦点,若x1+x2+x8=10,则|P1F|+|P2F|+|P8F|=.14.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为;若过直线l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=2|PQ|,则实数a的取值范围为.15.过点M(1,1)
6、作斜率为-13的直线l,与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若AM=MB,则椭圆的离心率为.16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(ba0)的左、右焦点为F1,F2,P(2,2)为双曲线C上一点,且|PF1|PF2|=3,若线段PF1与双曲线C交于另一点A,则PAF2的面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,矩形ABCD的两条对角线交于点M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.(1)求AD边所在的直线方程.(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.18
7、.(12分)已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=2x,且该双曲线过点(2,2).(1)求双曲线C的标准方程;(2)点A为双曲线C上任一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过其中的一个焦点作F1AF2的平分线的垂线,垂足为点P,求点P的轨迹方程.19.(12分)已知抛物线y2=2px(p0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OAOB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在椭圆C上.(1)求椭圆
8、C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程.(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)如图,已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率为22,并以抛物线C2:x2=8y的焦点F为上焦点.直线l:y=kx+m(m0)交抛物线C2于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线C2的切线,两切线相
9、交于点P,点P恰好在椭圆C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)求mk的最大值;(3)求证:点F恒在AOB的外接圆内.章末目标检测卷八解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m1),由已知得|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.故所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.D由椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),可得=2,故椭圆M的方程为x22+y28=1,所以a=22.由椭圆的定义可知椭圆M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.3.C由已知得圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为a2,-1,因为圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直
10、线y=x-1对称,所以点a4,-12在直线y=x-1上,则a=2.设圆心P的坐标为(x,y),因为过点C(-2,2)的圆P与y轴相切,所以(x+2)2+(y-2)2=|x|,整理得y2+4x-4y+8=0.4.B由已知得双曲线的左焦点F(-c,0),离心率e=ca=2,则a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=x,所以经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k=4-00+c=4c=1,解得c=4,所以a=b=22,所以双曲线的方程为x28-y28=1.5.A圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的圆C的圆心坐标是(3,0),半径是1.设点M的坐标是(y2,y),则圆C的圆心到
11、点M的距离d=(y2-3)2+y2,当y2=52时,d的最小值是112,则|MN|的最小值是112-1.6.C由题意知a2=b2+5,则椭圆C1的方程可化为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0.双曲线C2的一条渐近线方程为y=2x,代入椭圆C1的方程,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆C1的弦长d=52a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112.所以b2=12.7.D由题意知F1(-c,0),双曲线x2-y2b2=1(b0)的渐近线方程为y=bx.不妨令过点F1的直线与直线y=bx平行,则直线方程为y=b(x+c),由y=b(x+c),y=-bx,得交点P-c
12、2,bc2.由点P在以线段F1F2为直径的圆外,可得-c22+bc22c2,即有b23,则双曲线的离心率e=ca=1+b22.8.B设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20.由y=k(x+2)(k0),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.根据抛物线的定义得,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2.由得x2=1(x2=-2舍去),所以点B(1,22),将点B的坐标代入y=k(x+2)得k=223.9.BC将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.当a0时,方程表示圆,而且圆
13、心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确.10.ACD如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),斜率为-a.kAC=-52,kBC=43.由题意知-a43或-a-52,即a-43或a52.故A,C,D符合,B不符合.11.ACD由椭圆C的方程,可得a=2,b=c=1,因为P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=22,所以A正确.-2|PF1|-|PF2|2,所以B错误.设P(2cos,sin),则|PF1
14、|PF2|=(2cos+1)2+sin2(2cos-1)2+sin2=2+cos2+22cos2+cos2-22cos=(2+cos2)2-8cos2=2-cos21,2,所以C正确.PF1PF2=2cos2-1+sin2=cos20,1,所以D正确.12.ACD由已知得F(1,0),不妨设点A在第一象限,若直线l的斜率不存在,则点A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=25,SOAB=1241=2,可知B错误.若直线l的斜率存在,则设直线l的斜率为k,直线l的方程为y=k(x-1),显然k0,由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+
15、k2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,所以|AB|=x1+x2+2=4+4k24.因为原点O到直线l的距离d=|k|k2+1,所以SOAB=12|AB|d=124+4k2|k|k2+1=21+1k22.综上,|AB|4,SOAB2,故A正确,D正确.过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.13.18根据抛物线的定义,点Pi(i=1,2,3,8)到焦点的距离等于点Pi到准线的距离,即|PiF|=xi+1,则|P1F|+|P2F|+|P8F|=(x
16、1+1)+(x2+1)+(x8+1)=(x1+x2+x8)+8=18.14.23-32,3+32当a=1时,圆心C(1,0),半径r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-2|1+1=22,所以弦长=2r2-d2=21-12=2.由题意得圆心C(a,a-1),设点P(m,-m+2),过点P作PBx轴(图略),则有|PA|=2|PB|.又因为|PA|=2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,则=4-4(2a2-6a+4)=-8
17、a2+24a-120,解得3-32a3+32.15.63设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为AM=MB,所以x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-13.由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1相减,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,可得2a2+2b2-13=0,所以a2=3b2,所以e=ca=1-ba2=63.16.924由已知得|PF1|=3|PF2|,又|PF1|2=(2+c)2+2,|PF2|2=(2-c)2+2,所以(2+c)2+2=9(2-c)2+2,解得c=3或c=2.因为点P(2,2)在双曲线C上,
18、所以4a2-2b2=1,a2+b2=9或4a2-2b2=1,a2+b2=4,所以a2=3,b2=6或a2=2,b2=2(舍去),所以双曲线C的方程为x23-y26=1.又F1(-3,0),所以直线PF1的方程为y=25(x+3),与双曲线C的方程联立,消去x,整理得8y2-102y+4=0,所以y1=24或y2=2(舍去),所以点A的坐标为-74,24,所以SPAF2=SPF1F2-SAF1F2=1262-12624=924.17.解(1)ABAD,kAD=-1kAB=-113=-3.由已知得点E(0,1)关于点M(3,0)的对称点(6,-1)在直线AD上,AD边所在直线的方程为y+1=-3(
19、x-6),即3x+y-17=0.(2)由3x+y-17=0,x-3y-7=0,得点A(5.8,-0.4),r2=|AM|2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8,故矩形ABCD外接圆的方程为(x-3)2+y2=8.18.解(1)根据题意,双曲线C的渐近线方程是y=2x,则设双曲线C的方程为4x2-y2=(0),将点(2,2)的坐标代入,得=12,则双曲线C的方程为4x2-y2=12,即x23-y212=1.(2)如图,F1,F2是双曲线x23-y212=1的左、右焦点,过F2作F1AF2的平分线AB的垂线,垂足为P,并且交AF1于点Q,连接OP,则OP12F1Q,由题意
20、可得|AQ|=|AF2|.所以|F1Q|=|AF1|-|AQ|=|AF1|-|AF2|=2a,所以|OP|=a=3.由圆的定义可知,点P的轨迹是以点O为圆心,3为半径的圆,故点P的轨迹方程为x2+y2=3.19.(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=2,故抛物线的方程为y2=4x.将点T(3,t)的坐标代入,解得t=23.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,点Ay124,y1,By224,y2,由y2=4x,x=my+n,消去x,得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OAOB=5,得(y1y2)216+y1y2=5,所以y1y2=-20或y1y2=4
21、(舍去),即-4n=-20,即n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).20.(1)解由题意得a2-b2a=22,又点(2,2)在椭圆C上,所以4a2+2b2=1.由得a2=8,b2=4.所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l:y=kx+b(k0,b0),点A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入x28+y24=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k
22、,所以kOMk=-12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),代入抛物线方程,得y2-8my+16m-16=0.=(-8m)2-4(16m-16)=64(m2-m+1)0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m.由8m=4,得m=12,此时0.所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,其中=(n+8)2-n2=16n+640,则n-4.(*)又xC+xD=4
23、(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.22.(1)解由已知得F(0,2),所以c=2,因为e=ca=22,所以a=22,所以椭圆C1的方程为y28+x24=1.(2)解设点A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l:y=kx+m(m0)与抛物线C2:x2=8y的方程联立可得x2-8kx-8m=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8m,=64k2+32m0.因为y=x4,所以PA:y-x128=x14(x-x1),即PA:y=x14x-x128.同理可得PB:y=x24x-x228,所以Px1+x
24、22,x1x28,即P(4k,-m).因为点P在椭圆y28+x24=1上,所以m28+16k24=1,即m2+32k2=8.因为m2+32k2232mk,所以当m=2,k=24时,mk取得最大值22.(3)证明因为过原点O,所以可设AOB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey=0,由已知可得x12+y12+Dx1+Ey1=0,x22+y22+Dx2+Ey2=0,故E=x12x2+y12x2-(x22x1+y22x1)x1y2-x2y1=(x12x2-x22x1)+x14x2-x24x164x1x22-x2x128=8(x1-x2)+x13-x238x2-x1=-8-x12+x22+x1x28,所以E=-8k2-m-8.将点F(0,2)的坐标代入外接圆方程可得4-2(8k2+m+8)=-16k2-2m-12,因为m0,所以-16k2-2m-120,所以点F在AOB的外接圆内.
