1、四川省内江市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题： 1.已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（ ）A. 26B. 27C. 28D. 29【答案】B【解析】【分析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号
2、为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题2.设点是点关于平面的对称点，则等于（ ）A. B. 10C. D. 38【答案】B【解析】【分析】利用空间中的两个点关于平面对称时的坐标关系可求的坐标，再利用两点之间的距离公式可求.【详解】因为点是点关于平面的对称点，故，故，故选B.【点睛】本题考查空间中关于坐标平面对称的点的坐标关系，此类问题属于基础题.3.直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理可得,即可判
3、断两直线位置关系【详解】由题,则,所以直线与直线垂直,故选:B【点睛】本题考查两直线位置关系的判断,属于基础题4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是（ ） A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A【解析】【分析】由程序框图可知其输出结果为成绩不小于90的次数,进而利用茎叶图的数据求解即可【详解】由程序框图可知其输出结果为成绩不小于90的次数,则可由茎叶图得到符合条件的次数为9,故选:A【点睛】本题考查读懂程序框图的功能,考查茎叶图的应用,属于基础题5.方程所表示的
4、直线与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定【答案】C【解析】分析】整理直线方程可得,则直线恒过,可判断在圆内,即可判断直线与圆的位置关系【详解】由题,直线为,即,当时,即直线恒过,因为,所以在圆内,则过圆内一点的直线一定与圆相交,故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断,考查直线恒过定点的应用6.关于直线m、n及平面、，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由可得存在使,若,则,即可得到,进而得到正确答案【详解】若m，n，则m与n的关系是平行、异面，故A错误；因为,所以存在使,因为,所以,则,故B正
5、确,若m，n，则m与n的关系为平行、相交或异面，故C错误；若m，则m与的关系是平行、相交（含垂直），故D错误故选:B【点睛】本题考查面面垂直的判断,考查空间想象能力,属于基础题7.已知为线性区域内的一点，若，则z的最大值为（ ）A. 2B. 3C. -1D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求得最大值【详解】由题,可得可行域如图所示（阴影部分）,由得,平移直线,由图像可知当直线经过点时,直线的截距最小,即最大 由,解得为,代入目标函数中可得,故选:A【点睛】本题考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想8.已知点到直线的距离等于1，则实数m等于（
6、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式求解即可【详解】由题,点到直线的距离为:,解得,故选:D【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用,属于基础题9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求
7、解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,随机选取2个不同的数可能为:,共有10种情况,其中和小于等于10的有:,共有5种情况,则概率为,故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题10.若圆心坐标为的圆，被直线截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由弦长为,利用点到直线距离求得,进而求解即可【详解】由题,设圆的半径为,圆心到直线距离为,则,所以弦长为,则,所以圆的方程为,故选:C【点睛】本题考查圆的方程,考查弦长的应用,考查数形结合思想11.若圆上存在点P，使得，其中点，则t的最小值是（ ）A. 7B. 5C
8、. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】由可得,则,设,利用两点间距离公式整理可得,则点的轨迹为以原点为圆心,半径为的圆,记为圆,由点是圆上的点,则当圆与圆外切时,最小,进而求解即可【详解】设,因为,所以,即,所以,即,则,所以点的轨迹为以原点为圆心,半径为的圆,记为圆,又点是圆上的点,则当圆与圆外切时,最小,因为圆的圆心为,半径为1,所以,即,所以,故选:C【点睛】本题考查两圆的位置关系的应用,考查最值问题,考查数形结合思想12.已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【
9、分析】过点作球的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小；当截面过球心时,截面面积最大,进而利用图形求解即可【详解】如图,由题,设的中心为,球的半径为,连接,则,在中,解得,所以,因为,所以,在中,所以,过点作球的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小,此时截面的半径为,则截面面积为,当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为,故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球问题,考查截面积的范围问题,考查空间想象能力和运算能力二、填空题： 13.已知的平均数为a，则的平均数是_.【答案】【解析】【分析】由题可得,再利用平均数的定义求解即可【详解】由题,所以,则的平均数为:,故答案为:【点睛】本题考查平均数公式的
10、应用,属于基础题14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当时的值为_.【答案】859【解析】【分析】先将多项式转化为的形式,然后逐步计算至的值,即可得到答案【详解】根据秦九韶算法把多项式改写为如下形式:,所以,故答案为:859【点睛】本题考查利用秦九韶算法求多项式的值,属于基础题15.一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为_.【答案】或【解析】【分析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率
11、存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线的方程为:；（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,故答案为: 或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程16.如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：四棱锥的体积恒为定值；对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.其中为真命题的是_.（填写所有正确答案的序
12、号）【答案】【解析】【分析】将四棱锥转化为2个,进而求解判断即可；找到反例即可；利用中位线证明即可；将四边形的周长的最值转化为的最值,进而求解即可【详解】,又三棱锥为三棱锥,则底面不变,且因为平面,故点到底面的距离即三棱锥底面的高不变,故三棱锥的体积不变,所以四棱锥的体积不变,恒为定值,故正确；当点在点处时,总有与平面相交,故错误；由O为底面对角线和的交点,则,设为的中点,则在中,所以平面,故正确；四边形的周长为,则分析即可,将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为截面平行四边形的周长取得最小值时唯一点,故正确；故答案为:【点睛】本题考查线面平行的判定,考查锥体的体积
13、,考查空间想象能力与转化思想三、解答题： 17.已知的三个顶点坐标分别为.（1）求边上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边上的高所在直线的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得的中点,再求得中线的斜率,进而求得中线的方程；（2）先求得直线斜率,即可得到其高的斜率,再利用点斜式方程求解即可【详解】（1）,的中点为,边的中线的斜率为,边上中线的一般式方程为（2）,故边上的高所在直线斜率为,由点斜式得,边上的高所在直线的一般式方程为【点睛】本题考查直线的一般方程,考查三角形的性质的应用,考查斜率公式的应用18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩
14、分组区间是：.（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数.【答案】（1）（2）平均数为73，中位数为：.【解析】【分析】（1）由频率和为1求解即可；（2）以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数【详解】（1）由频率分布直方图知,解得（2）估计这100名学生语文成绩的平均分为:由（1）,设中位数为,则解得,故估计中位数为：.【点睛】本题考查频率的性质,考查利用频率分布直方图求平均数和中位数,考查数据处理能力19.如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度为3，矩形的对角线
15、和三棱柱的侧棱、的交点记为.（1）在三棱柱中，若过三点做一平面，求截得的几何体的表面积；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求得几何体的各面面积,进而求和即可；（2）转化三棱锥为三棱锥,进而求解即可【详解】（1）由操作可知,该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形,正三棱柱的高为3,所求几何体的表面积为各面的面积之和,又,由原矩形可知,则 则在中,所以边上的高为,故（2）点E到面的距离就是正三角形的高:,所以【点睛】本题考查几何体的表面积,考查棱锥的体积,考查转化思想和运算能力20.某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，
16、为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从这6组数据中随机选取4组数据，求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率；（2）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估
17、计分别为：，.【答案】（1） （2），此方程是“恰当回归方程”.【解析】【分析】（1）先列出剩下2组数据的基本事件,再找到相邻的情况,进而求解即可；（2）利用最小二乘法由公式求得线性回归方程,再代入剩余两组的数据进行检验即可【详解】（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据相邻”为事件A,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的2组数据的基本事件有,共15种,其中相邻的有,共5种,所以（2）中间4组数据是:间隔时间（分钟）11121314等候人数（人）25262928因为,所以,所以,所以,当时,；当时,；所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”【点睛】本题考查列举法求
18、古典概型的概率,考查最小二乘法求线性回归方程,考查线性回归方程的实际应用21.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，四棱锥的体积，M是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点B到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）取中点N,连接,则,则与所成的角就是异面直线与所成的角,即,进而求解即可；（2）在平面内过点A作,垂足为E,先证得平面,再根据平面可得点B到平面的距离等于点A到平面的距离,即为,进而求解即可详解】（1）取中点N,连接,底面,且底面是边长为2的正方形,则底面积为,解得,分别为的中点,所以与所成的角就是异面直线与所成的角,即,因为,所以,所以异面直线与所成
19、角的余弦值为（2）在平面内过点A作,垂足为E,底面,平面,四边形是正方形,则,平面,平面,又,平面,平面,平面,平面,所以,点B到平面的距离等于点A到平面的距离,即为,在中,故,因此,点B到平面的距离为【点睛】本题考查几何法求异面成角,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与运算能力22.如图，圆与轴交于、两点，动直线：与轴、轴分别交于点、，与圆交于、两点. （1）求中点的轨迹方程；（2）若，求直线的方程；（3）设直线、的斜率分别为、，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（）；（2）；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到，故轨迹为圆，代入数据得到答案.（2）根据题意得到或，计算得到答案.（3）计算，根据得到，解得答案.【详解】（1）（）（2）为中点，则或，即为（3），又，即或又、，则舍去综上【点睛】本题考查了轨迹方程，直线方程，求斜率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
