1、第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线1渐开线与摆线的基本概念和参数方程(重点)2渐开线与摆线及其方程的灵活运用(难点)1渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的_，相应的定圆叫做_2摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个_的轨迹，圆的摆线又叫_渐开线基圆定点旋轮线3圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆 的 渐 开 线 参 数 方 程：_(2)摆线的参数方程：_xrcos sin，yrsin cos(为参数)xrsin，yr1cos(为参数)1关于渐开线和摆线的
2、叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆，不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的渐开线的形状和大小都是一样的，只是方程的形式及渐开线在坐标系中的位置可能不同答案：C2下列各点中，在圆的摆线xsin，y1cos(为参数)上的是()A(，0)B(，1)C(2，2)D(2，0)解析：依次将点代入验证即可答案：D
3、1圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的AOB即是角.显然点M由参数唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单2圆的摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要
4、注意其取值的具体情况.求半径为4的圆的渐开线的参数方程思路点拨关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角函数的有关知识建立等式关系求圆的渐开线的参数方程解：以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量 OM0的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA丄AM，按渐开线定义，弧AM0的长和线段AM的长相等，记 OA 和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则|AM|AM04.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA(4cos，4sin)由几何知识知MAB，AM(4sin，4cos)，得OM OA AM(4cos 4si
5、n，4sin 4cos)(4(cos sin)，4(sin cos)又OM(x，y)，因此有x4cos sin，y4sin cos.这就是所求的圆的渐开线的参数方程【题后反思】用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点M为(x，y)(2)取定运动中产生的某一角度为参数(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式(4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程1基圆直径为10，求其渐开线的参数方程解：取为参数，为基圆上的点与原点的连线与x轴正方向的夹角直径为10，半径r5.代入圆的渐开线的参数方程，得x5cos sin，y5
6、sin cos.这就是所求的圆的渐开线的参数方程求半径为2的圆的摆线的参数方程如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度为参数(以弧度为单位)思路点拨利用向量知识和三角函数的有关知识求解求摆线的参数方程解：当圆滚过角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图如示，ABM.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和AM的长相等，它们的长都等于2，从而B点坐标为(2，2)，向量OB(2，2)，向量MB(2sin，2cos)，BM(2sin，2cos)，因此OM OB BM(22sin，22cos)(2(sin)，2(1cos)动点M的坐标为(x，y)，向量OM(x，y)，所以x
7、2sin，y21cos.这就是所求摆线的参数方程【题后反思】由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程要确定圆的半径，通常的做法有：(1)根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；(2)利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径2圆的半径为r，圆沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转角试求点M的轨迹方程解：xMOTATrrcos2rsin()，yMrrsin2r1cos()即点M的轨迹方程为xrsin，yr1cos (为参数，r，为常数)已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线
8、的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程渐开线与摆线参数方程的应用思路点拨根据圆的摆线的参数方程xrsin，yr1cos(为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可解：令y0，可得r(1cos)0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin)，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r 1k(kZ)又由实际可知r0，所以r1k(kN)易知，当k1时，r取得最大值1.代入即可得圆的摆线的参数方程为x1sin，y11cos(为参数)，圆的渐开线的参数方程为x1cos sin
9、，y1sin cos(为参数)【题后反思】根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度3已知一个圆的摆线方程是x44sin，y44cos(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16.该圆对应的渐开线的参数方程是x4cos 4sin，y4sin 4cos(为参数).【典例】如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是多少？思维创新系列(三)正方形的渐开线
10、思路点拨本题定义了“正方形的渐开线”这样一个新概念，根据这一定义，AE的长实质上是半径为1的 14 圆周长，其长可求，其余依次可推出特别关注对于新定义型的创新题，解决的关键是挖掘出新定义问题的本质特征，转化为我们熟悉的问题来解决解：根据正方形渐开线的定义可知，AE是半径为1的14圆周长，长度为 2.继续旋转可得EF是半径为2的 14 圆周长，长度为；FG是半径为3的14圆周长，长度为32；GH是半径为4的14圆周长，长度为2.所以，曲线AEFGH的长是5.【多维探究】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程解：令y0，可得r(1cos)0，由于r0，即得cos
11、 1，所以2k(kZ)代入xr(sin)，得xr(2ksin 2k)又因为x1，所以r(2ksin 2k)1，即得r12k(kZ)又r0，所以r 12k(kN*)易知，当k1时，r取最大值，为 12.代入即可得圆的摆线的参数方程为x 12sin，y 121cos(为参数).点击进入WORD链接P41思考在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2(sin，cos)与向量BM 有相同方向”这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗？提示：因为e1e2(cos，sin)(sin，cos)cos sin sin(cos)0，所以e2丄e1，即BM e2.当的终边在坐标轴上时，容易得到BM 与e2同向
12、下面可以按参数在不同的象限，分情况证明 BM与e2同向当在第一象限时，如图(1)所示，由于sin 0，cos 0，cos 0，(sin，cos)是第一象限的点的坐标，所以BM 与e2同向；当在第三象限时，如图(3)所示，由于sin 0，(sin，cos)是第二象限的点的坐标，所以BM 与e2同向；当在第四象限时，如图(4)所示，由于sin 0，cos 0，(sin，cos)是第三象限的点的坐标，所以BM 与e2同向P42思考在摆线的参数方程xrsin，yr1cos(是参数)中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？提示：参数的取值范围是0，)，一个拱的宽度是2r，高度是2r(其中r
13、是滚动圆的半径)课后习题解答习题2.4(第42页)1解：因为基圆的直径是225 mm，所以基圆的半径是112.5 mm，齿廓线AB所在的渐开线的参数方程为x112.5cos sin，y112.5sin cos(是参数)2解：将 2，32 分别代入xcos sin，ysin cos，得到A，B两点的坐标分别为 2，1，32，1.由两点间的距离公式得|AB|23221122 21.3解：设轮子的圆心为B，BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，直线轨道为x轴建立直角坐标系(如图所示)设圆滚动使点M绕圆心B转过角后点M的坐标为(x，y)，则xODOADAOAMCabsin，yDMACABCBabcos.所以，点M的轨迹方程为xabsin，yabcos(是参数)4解：如图所示建立直角坐标系，设点M的坐标为(x，y)，此时BOA.因为OB4CB，所以，BCM4，MCD23.由于xOFOEEF3rcos rsin233rcos rcos 33rcos r(4cos33cos)4rcos3，yFMEDECDC3rsin rcos233rsin rsin 33rsin r(3sin 4sin3)4rsin3.所以，点M的参数方程为x4rcos3，y4rsin3(是参数)谢谢观看！
