1、第2课时基本不等式的简单应用1两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()20x0，b0且ab4，则ab4.()4当x1时，x2，所以x的最小值是2.()5已知x，y都是正数，若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最小值.()【解析】1.234提示：.不是常数，故错误5提示：.x，y都是正数，若xyS(和为定值)，则xy，当xy时，积xy取得最大值.题组一利用基本不等式比较大小1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C D2【解析】选D.选项A中应该为a2b22ab，漏了等号；选项B中当且仅当a0，b0时才成立，而原题条件是ab0，
2、故不成立；选项C中应为，当且仅当ab时等号成立，漏掉等号；选项D正确2已知a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22 Da2b23【解析】选C.a2b2(ab)22ab42ab422.3已知0a1，0b1，且ab，则ab，2，a2b2，2ab中最大的是_【解析】因为a0，b0，且ab，由重要不等式和基本不等式可得：a2b22ab，ab2.所以只要比较a2b2与ab的大小就可以了因为0a1，0b1，所以a2a，b2b，所以a2b2ab.所以ab是最大的答案：ab4设a0，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.以上正确的序号为_【解析】由于a21a0，故恒成立；由
3、于a2，b2.所以4，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，故恒成立；当a3时，a296a，故不能恒成立答案：题组二利用基本不等式求最值1已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A B4 C D5【解析】选C.因为ab2，所以1.所以2.故y的最小值为.2函数y(x1)的最小值为_【解析】y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立答案：223(2021丹东高一检测)设x，yN*满足xy100，则xy的最小值为_【解析】因为xy2220，当且仅当xy10时，等号成立故xy的最小值为20.答案：204设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，当取得最大值时，求的最大值【解析】1，当且
4、仅当x2y时等号成立，此时z2y2，11，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.易错点一求最值时忽略等号成立的条件1若4x1，则y()A有最小值1 B有最大值1C有最小值1 D有最大值1【解析】选D.y，又因为4x1，所以x10.故y1.当且仅当x1，即x0时等号成立2若正数x，y满足x3y5xy，求3x4y的最小值【解析】方法一：由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)5，所以3x4y的最小值是5.方法二：由x3y5xy，得x，因为x0，y0，所以y，所以3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，所以(3x4y)min5.【易错误区】利用基本不等式求最值时易忽略获得满足基本不
5、等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件易错点二利用基本不等式比较代数式大小时忽视条件1已知a，b都是正数，且ab1，则_9.(填写大小关系)【解析】因为a0，b0，且ab1，所以52549.当且仅当，即ab时取“”所以9.答案：2正数a，b，c满足abc1，则(1a)(1b)(1c)_8abc.(填写大小关系)【解析】因为abc1，所以1abc，1bac，1cab.因为a0，b0，c0，所以bc20，当且仅当bc时等号成立；ac20，当且仅当ac时等号成立；ab20，当且仅当ab时等号成立将上面三式
6、相乘得(bc)(ac)(ab)8abc，当且仅当abc时等号成立即(1a)(1b)(1c)8abc.答案：【易错误区】(1)利用基本不等式比较代数式的大小关系时，不能正确利用已知条件，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达不到放缩的效果(2)在注意多次运用基本不等式时易忽略等号能否取到一、选择题(每小题5分，共30分)1已知ma(a2)，n2(xn BmnCmn Dmn【解析】选A.因为m(a2)2224，n22x2n.2(2021海口高一检测)若实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1 B2 C2 D4【解析】选A.由基本不等式得，ab1.3已知f(x)x2(x0)
7、，则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4【解析】选C.因为x0，所以f(x)2224，当且仅当x，即x1时取等号4不等式(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是()Ax3 Bx3Cx5 Dx5【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为x2，即x5(x1舍去).5(2021铁岭高一检测)已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()A B C D【解析】选A.因为0x0，则x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时取等号6设x0，则y33x的最大值是()A3 B3 C32 D1【解析】选C.因为x0，所以y33232.当且仅当3x，且x0，即x时，等号成
8、立二、填空题(每小题5分，共20分)7函数yx(x0)的最小值为_【解析】因为yx(x1)1211.答案：18若x0，y0，且x4y1，则xy的最大值为_【解析】1x4y24，所以xy，当且仅当x4y时等号成立答案：9(2021沈阳高一检测)已知x0，y0，且满足1.则x2y的最小值为_【解析】因为x0，y0，1，所以x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min18.答案：1810已知a0，b0，a2b1，则有最_值，此时最值为_【解析】因为1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立所以的最小值为32.答案：小32【一题多解】因为12332
9、，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为32.答案：小32三、解答题11(10分)(2021锦州高一检测)已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：8【证明】因为a，b，cR，且abc1，所以10，10，10，所以8，当且仅当abc时取等号，所以8.【加练备选】 已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.【证明】由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，所以(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.已知a1，b0，1，求证：a2b27.【证明】由1，得b(a1)，则a2baaa6(a1)727，当a1，即a1时，取等号
