1、-1-对旋转变换教学的探讨 增城市增城中学 吴慧英 【摘要】几何变换或图形的运动在几何、甚至在整个数学中占很重要的地位，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。留心近几年全国各地的中考，不难窥见与旋转变换有关的题目。几何变换可以使图形动起来，形成新的图形，从而巧妙解题。利用几何变换去认识、理解几何图形是培养几何直观的好办法。动起来更精彩，这是几何发展的一个趋势。【关键词】旋转 旋转的性质 动起来 奇妙 在新的一轮的课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展一个趋势。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，
2、一方面，加深了对图形性质的本质认识，另一方面，对几何直观能力也是一种提升。充分地利用变换去认识、理解几何图形是培养几何直观的好办法。新人教版提供的教材和教参对“旋转”这一章书的内容设计，及其提供的练习，目的在于：让学生运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计，让学生通过图案设计活动发展思维能力，加深理解相关的数学知识。而随着新一轮的课程改革的开展，图形的旋转变换在几何图形中的作用和应用程度，远超出上述要求。只要留心近几年全国各地的中考，不难窥见与旋转变换有关的题目。当与旋转有关的问题和方法出现在压轴题中的时候,有许多中等成绩的学生就望而却步。而书本的教学要求和练习似乎让我感觉到蜻蜓点水，欲言又
3、止的感觉。对旋转变换的教学应该结合教材的内容和历届中考的内容进行合理的整合，以及加深提高。一、透彻理解旋转中心和旋转角的概念，熟练活用旋转的基本性质。例 1.（2011.扬州）如图（1），在 RtABC 中，ACB=90，A=30，BC=2，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后得到EDC，此时点 D 落在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 于 点 F，则 n 的 大 小 和 图 形 阴 影 部 分 的 面 积 为 分 别 为 （）2,30.A 2,60.B 23,60.C 3,60.D 分析：由ACB=90,A=30,可得B=60,由EDC 是由ABC 绕点 C 旋转而成,且点 D
4、在 AB上,所以有 CD=BC=2，E=A=30,所以易知 BDC 是等边三角形,故有BCD=60,所以旋转角 n=60及FCE=60.从而可得CFE=90,DCF=90-60=30,所以 DF=1CD21=，所以CF=3，所以233121SCDF=.故选择 C.点评：此题考查图形变换中旋转中心、旋转角的概念，以及旋转的基本性质:图（1）-2-对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。在解此题的过程中，容易忽略的条件是：“点 D 在 AB 上”，这一条件起了关键的作用，有了此条件才知BCD 是等腰三角形，再结合B=60，才有BCD 为等边三角形。例 2.（2007鄂尔多
5、斯）（第 23 题第（3）问）如图（2），将ABC 绕顶点 B按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接 AD，DC，且DCB=30，求证：222ACBCDC=+.分析：要证222ACBCDC=+，满足勾股定理的形式，但三条线段不是同一个三角形的三条边，根据条件，图中也不存在直角三角形，故不能直接用勾股定理。所以考虑把 DC，BC，AC 三条线段中的某些线段转换成其他线段。由旋转角为 60及旋转的性质可知：CBE=60，BE=CE，AC=DE.连接 CE，得到BCE 是等边三角形。这样结论中的三条线段就转换为：CD、CE 及 DE 之间的关系，若能求出DCE=90，问题就迎刃而解了。证明：连接
6、EC，DBE 是ABC 绕点 B 旋转而成，ABCDBE，BC=BE，因为旋转角为 60 CBE=60，BCE 是等边三角形，BCE=60，CE=BC，DCB=30，DCE=DCB+BCE=30+60=90，在 RtDCE 中，由勾股定理，得 DC2+EC2=DE2，又AC=DE，CE=BC，DC2+BC2=AC2 点评：例 1、例 2 可归纳出：由旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，易知，在图形旋转的过程中会出现相等的线段。当旋转角为 60时，在图中将容易产生等边三角形。这样，图中将出现较多的相等线段和 60的角，这为后续的解题做了很好的铺垫。例 3.（2011.天津）（第 25 题
7、）在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A（3，0），B（0,4），以点 A 为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得ACD.记旋转角为,ABO 为.(1)如图(3),当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时,求点 D 的坐标;(2)如图(4),当旋转后满足 BCx 轴时,求与之间的数量关系;(3)当旋转后满足AOD=时,求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可).图（2）-3-解：（1）点 A（3，0），B（0，4），得 OA=3，OB=4，在 RtAOB 中，由勾股定理，得 AB=522=+OBOA，根据题意，有 DA=OA=3 如图(3)，过点 D 作 DMx 轴于点 M，则 MDOB
8、，ADMABO有 BODMAOAMABAD=,59353=AOABADAM，512453=BOABADDM,OM=OA-AM=56593=，点 D 的坐标为51256，.（2）如图（4），由已知，得CAB=，AC=AB，ABC=ACB，在ABC 中，由ABC+ACB+CAB=180，得=180-2ABC，BCx 轴，OBC=90，ABC=90-ABO=90-，=180-2（90-）=2.（3）直线 CD 的解析式为：4247+=xy或4247=xy.点评：动态几何与函数综合出题，是近年中考压轴题常见的题型。函数问题已经是初中数学的难点，而动态几何也是初中数学的另一大难点，其中旋转变换又是几何变
9、换中比较复杂的一种变换。所以中考遇到这种题型时，很多成绩中等的学生望而却步。这就要求学生平时要熟练掌握及灵活运用旋转中心，旋转角，以及旋转的基本性质。更重要的要求学生充分发挥空间想象能力，在头脑中让图形动起来，使图形重新组合，形成新的图形，这样才能够准确解题。所以在教学中，要注重这几方面的培养：1.在教学中使学生逐步养成画图的习惯。2 重视变换让图形动起来，充分地利用变换去认识、理解几何图形，从而培养起几何图（3）图（4）-4-图（5）图（6）直观。3.重视从“数”与“形”两个角度认识数学。二、巧用旋转变换，体现变换的奇妙之处。例 4.（2009.广州）（第 24 题第（2）问）如图（5），边
10、长为 1 的正方形 ABCD被两条与边平行线段 EF、GH 分割成四个小矩形，EG 与 GH 交于点 P.若FAH 45，求证：AGAEFH.分析：易知 AG=DH，AE=BF.所以 AG+AE=DH+BF，因为 AB=AD，BAD=90，故考虑把ABF 绕点 A 按逆时针方向旋转 90，再利用旋转的性质问题就容易解决了。证明：把ABF 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到ADF/，所以ADF/=ABF=90，AF/=AF，DF/=BF，F/AD=FAB ADF/=90，ADC=90 F/、D、H 三点共线，F/H=F/D+DH，ABFE、AGHD 的矩形 AE=BF，AG=DH，又DF/=B
11、F，AGAE=F/D+DH=F/H，FAH45，且BAD=90，F/AD=FAB，F/AD+DAH=FAB+DAH=90 FAH=45，又AF=AF/,AH=AH，AFHAF/H（SAS），F/H=FH，AGAE=F/H AGAE=FH.点评：在解题的过程中，利用几何直观，巧妙地把ABF 绕点 A 逆时针旋转90，由于ADF/=ADH=90，线段 BF 就旋转到与 DH 成一直线的位置上。使得两条线段 BF，DH 的和变成了一条线段 HF/的长度。再结合其他已知条件便可求证。所以灵活应用旋转变换这一几何直观，使某些几何图形动起来，形成新的图形，就可以达到解决问题的目的。同时也拓宽了解题的思路。
12、注意，学生容易忽略的问题是：要先证明 F/，D，H 三点共线。例 5.如图所示（6），在正方形 ABCD 中，PA=1，PB=2，PC=3.，点 P 在正方形内部，试求APB 的度数。分析：给出的三条线段不是同一个三角形的三边，它们的长度也不满足勾股定理的逆定理，这时候，也要考虑把图形中的线段 PA，PB，PC 某些线段动起来，形成新的图形。因为 AB=BC，且ABC=90，所以将BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90，得到BP/A.由旋转的性质可知，BP/=BP=2，AP/=PC=3，PBP/=90，从而易求出APB=135.解：把BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90，得到BP/A，连
13、接 PP/.得到PBP/=90，BP/=BP=2，AP/=PC=3，BPP/是一个等腰直角三角形 P/P2=25+22=8，且BPP/=45 -5-图（7）P/A2-AP2=32-12=8=P/P2 APP/是直角三角形，且APP/=90 APB=APP/+BPP/=90+45=135 点评：此题的关键条件有：AB=BC，ABC=90，所以考虑将BPC 绕点 B旋转 90，经过这一巧妙的旋转变换，使其中的两条线段 BP，PC 动起来，成为APP/的两条边，根据条件，这时就形成了等腰直角BPP/和直角APP/.有些平面几何题，如果根据条件直接去做，会寸步难行，但如果根据题设和图形的特征，利用图形
14、的直观性，适当的选择旋转中心，旋转角度，把部分图形旋转起来，形形成新几何图形的关系，再利用一些大家熟悉的几何图形的特殊性质，便可巧妙的求解。充分地利用变换去认识、理解几何图形，有助于培养学生探索求知识欲望的提升，也有助于学生的数学思维能力和几何证题能力的提高。把题目中的关键点之一“ABC=90”变成“ABC=90”，就得到以下的变式练习：变式练习：.如图（7），P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA，PB,PC,若 PA=4，PB=3，PC=5，求APB 的度数。解答提示：把BCP 绕点 B 按逆时针方向旋转60得到AP/B,连接 PP/，易求得 BPP/=60，APP/=90，故APP
15、/=150.三、动态几何题常常以旋转变换为景。例 6.（2004厦门）如图（8），正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A，点 G、E 分别在线段 AD、AB 上（1）连接 DF、BF，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段 DF 与 BF 的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；（2）若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长始终相等？并以图为例说明理由 解：（1）不正确 如图（9）若正方形 GAEF 绕点 A 顺时针旋转 45，这时点 F
16、落在线段 AB 或 AB的延长线上（或将正方形 GAEF 绕点 A 顺时针旋转，使得点 F 落在线段 AB 或 AB的延长线上）如图（9）：设 AD=a，AG=b，图（8）图（9）图（10）-6-图（11）则 DF=a2+2b2 a，BF=|AB-AF|=|a-b2|a，DFBF，即此时 DFBF；（2）如图（10），连接 BE，则 DG=BE，四边形 ABCD 是正方形，AD=AB，四边形 GAEF 是正方形，AG=AE，又DAG+GAB=90，BAE+GAB=90，DAG=BAE，DAGBAE，DG=BE 四、旋转变换在操作题中也占有重要的地位。新人教版课标教材八年级数学下册 P105 选
17、学内容：“实验与探究”中的“巧拼正方形”中的两个有关正方形的小实验中的第 1 题。例 6.如图（11），正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.那么无论正方形 A1B1C1O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 41.想一想这是为什么。答案提示：由题意得 OA=OB，OAB=OBC=45又因为AOE+EOB=90，BOF+EOB=90，可得AOE=BOF，可得AOEBOF(ASA).所以 S 四边形 OEBF=SEOB+SOBF=SEOB+SAOE=SAOB=41 S 正方形 ABCD.世界万物都在运动变化中，在研究几何图形的时候，把图形动起来，将会更精彩，这是几何发展的一个新趋势。
