1、专题03 对角互补的三种模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90与120的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一、含90的全等型 1.如图，已知AOBDCE90，OC平分AOB.则可以得到如下几个结论：CDCE，ODOEOC，.2.如图，已知DCE的一边与AO的延长线交于点D，AOBDCE90，OC平分AOB.则可得到如下几个结论：CDCE，OEODOC，.例1.如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，RtMPN，MPN90，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE
2、2PF时，AP 【答案】3【详解】解：如图作PQAB于Q，PRBC于RPQBQBRBRP90，四边形PQBR是矩形，QPR90MPN，QPERPF，QPERPF，2，PQ2PR2BQ，PQBC，AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，设PQ4x，则AQ3x，AP5x，BQ2x，2x+3x3，x，AP5x3故答案为3【变式训练1】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值 【答案】25【解答】解：当OPAD或OP经过C点，重叠部分的面积显
3、然为正方形的面积的，即25，当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，如图在RtOEG与RtOFH中，EOGHOF，OEOF5，OEGOFH，S四边形OHCGS四边形OECF25，即两个正方形重叠部分的面积为25【变式训练2】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角ABD和直角CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积【答案】2【详解】解：将ABC绕点A旋转90，使B与D重合，C到C点，则有CDCADC+ADCADC+ABC180，所以C、D、C在同一直线上，则ACDC是三角形，又因为ACAC，所以ACC是等腰直角三角形，在ABC和ADC
4、中，ABCADC（SAS），四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC的面积，所以S四边形ABCDSACC222【变式训练3】3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，则点C的坐标为 .【答案】C（6，4）【详解】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.MFOCEOAOB90，AOMFCE，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，AMCM，OABEBC，OFEF，MF是梯形AOEC的中位线，OBCE，AOBE，又OFFE，MOE是直角三角形，MOME，MOE是等腰直角三角形，. 模型二、 含60与120的全等型如图，
5、已知AOB2DCE120，OC平分AOB.则可得到如下几个结论：CDCE，ODOEOC，.例.如图，在ABC中，ABAC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若A60，EDFA180，求证：. 【答案】见解析【详解】取AB的中点G，连接DG，如图所示：ABAC，A60，ABC是等边三角形，点D、G分别是AB、BC的中点，DG是ABC的中位线，DGDCBD，B60，BDG是等边三角形，BGDC，AEDAFD180，且AFDDFC180，AEDDFC，GEDCFD，EGFC，BECFBEECBG.【变式训练】在等边ABC中，点D是线段BC的中点，EDF120，射线DE与线段AB相交于点E
6、，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DFAC，直接写出DE与AB的位置关系；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DEDF；（3）在EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.【答案】（1）DEAB；（2）见解析；（3）【详解】（1）DFAC，AFD90，A60，EDF120，AED360AAFDEDF90，DEAB；（2）连接AD，过点D作DMAB于点M，作DNAC于点N，如图所示：点D是BC的中点，AD是BAC的角平分线，DMDN，AMDBMDANDCND90，A60，M
7、DN360609090120，EDF120，MDENDF，EMDFND，DEDF；（3）过点D作DMAB于点M，作DNAC于点N，如图所示：在BOM与CDN中，BMCN，DMDN，EDF120MDN，EDMNDF，在DME与NDF中，EDMFDN，MENF，BECFBMEM（FNCN）2BMBD.模型三、 相似型例.【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN,连结CN求证：BMCN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BMCN还成立吗？请说明理由【
8、拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BABC,AB6,AC4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN,使顶角AMNABC连结CN试探究BM与CN的数量关系，并说明理由图1 图2 图3【答案】见解析【解析】（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN（2）解：结论ABCACN仍成立；理由如下：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN（3）解：ABCACN；理由
9、如下：BABC，MAMN，顶角ABCAMN，底角BACMAN，ABCAMN，又BAMBACMAC，CANMANMAC，BAMCAN，BAMCAN，ABCACN课后训练1如图所示，在四边形ABCD中，AD3,CD2,ABCACBADC45,则BD的长为_【答案】【详解】解：作ADAD，ADAD，连接CD，DD，如图：BACCADDADCAD，即BADCAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS），BDCD，DAD90，由勾股定理得DD3，DDAADC90，由勾股定理得CD，BDCD故答案为：2、如图，在ABC中,ABC60,AB8，以AC为腰，点A为顶点作等腰ACD,且DAC120,则BD的
10、长为_. 【答案】10【详解】解：以A为旋转中心，把BAC逆时针旋转120，得到EAD，连接BE，作APBE于P，则BAE120，ABAE，ABEAEB30，BPABcosABP3，AEB90，BE2BP6，在RtBED中，BD10，故答案为：10 3.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E在对角线AC上，连接BE，作EFBE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 .【答案】【详解】如图，过点E分别作于点G，于点H.四边形ABCD是矩形，四边形CHEG也是矩形，GEH90，BEGGEFGEFFEH90，BEGFEH，又BGEFHE90，BEGFEH，.4.如图，在正方形ABCD中，对角
11、线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE4，CF3，且OEOF，求EF的长. 【答案】5【详解】如图，连接EF.四边形ABCD是正方形，AODO，OAEODF45，ADC90，又OEOF，OFDEDO180，AEODEO180，OFDAEO，AEODFO（AAS），AEDE4，又ADCD，DECF3，在RtEOF中，.6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.【答案】（1）PBPQ；（2）PBPQ【详解】（1）过点P作PEBC，PFCD，如图所示：P、C为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB90，PFPE，四边形PECF为正方形，BPEQPE90，QPEQPF90，BPEQPF，PQFPBE，PBPQ；（2）过点P 作PEBC，PFCD，如图所示：证明过程参考（1），通过证PQFPBE即可得到PBPQ.
