1、长春市2022届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
2、有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 3. 中，已知分别是角的对边，若，则外接圆的直径为A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则 A. B. C. D. 5. 右图是某市2020年6月与2021年6月空气质量等级的频率分布条形图，根据此统计图，有下列结论：2021年6月的空气等级为优、良的天数和多于2020年6月的天数；2020年6月没有出现重度污染天气和严重污染天气；2021年6月份出现污染天数多于2020年6月的天数；2020年6月份约有半个月空气质量为良. 其
3、中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3 D. 46. 下列关于函数的说法中，正确的是A. 函数是奇函数B. 其图象关于直线对称C. 其图象关于点对称D. 函数在区间上单调递增7. 长方体中，则异面直线与成角余弦值为A. B. C. D. 8. 已知，则A. B. C. D. 9. 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为，则=A. B. C. D. 11. 已知，则A. B. C. D. 12. 已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小
4、题5分. 13. 已知向量，则实数_. 14. 已知公比大于1的等比数列满足，则公比等于_. 15. 某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为_. （长春一模）16. 曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第2223题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点. （）求证：平面；（）
5、求三棱锥与四棱锥的体积比. 18. （本小题满分12分）设等差数列的前项和为，若，. （）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和. 19. （本小题满分12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示. （）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间. 根据以上抽样调查数据（同一组中
6、的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？（）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率. 20. （本小题满分12分）已知函数. （）讨论函数的单调性；（）若恒成立，求的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，. （）求椭圆的方程；（）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，
7、以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（）若直线与曲线交于两点，点，求的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数. （）当时，求不等式的解集；（）若，求实数的取值范围. （长春一模）长春市普通高中2022届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. A4. D5. C6. C7. D 8. B9. A10. C11. B12. C1. 集合，故选A. 2. ，对应点在第三象限，故选C. 3. 由知，由，所以，故选A.
8、4. ，所以，故选D. 5. 由图中数据易知，故选C. 6. 由知，C正确，故选C. 7. 由长方体可知，等于异面直线与所成的角，故选D. 8. ，故，故选B. 9. 由函数在其定义域内单调递增，有，解得，故选A. 10. 直线的斜率为，令，则，故选C. 11. 由，所以，故选B. 12. 过作垂直准线，为垂足，所以（当且仅当纵坐标相等时取等号），故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 13. .14. ，解得或，由等比数列的各项均大于1，故，.15. 由题意知，表面积为.16. 由题意知，切线方程为，有，整理有，所以切线与曲线有2个公共点.
9、 三、解答题17. (本题满分12分)（）因为平面平面，底面为正方形，所以平面，所以，又因为是正三角形，是的中点所以，所以平面.（6分）（）设，所以. （12分）18. (本题满分12分)（），解得，所以. （6分）（）由（）知，故，得，所以.（12分）19. (本题满分12分)（）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间. （6分）（）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为其中至少2名初中生包括7种情况，所以所求事件的
10、概率为. （12分）20. (本题满分12分)（）当时，在上单调递增；当时，令，令.所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）（）由（）知，当时，在上单调递增，而不成立. 当时，的最大值为，有，即，所以.综上. （12分）21. (本小题满分12分)（）在中，解得，所以，则椭圆的方程为：.（6分）（）当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，消去有，所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.（12分）22. (本小题满分10分)（）；（5分）（）为参数，将其代入椭圆方程，有，对应的参数分别为，有，所以. （10分）23. (本小题满分10分)（），等价于或，解得或，所以不等式解集为或；（5分）（），等价于，等价于，即，或，从而或. （10分）文科数学试题 第9页（共9页）
