1、解答题滚动练 11已知ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin A 3(1cos A)(1)求 A；(2)若 a7，sin Bsin C13 314，求ABC 的面积解(1)由于 sin A 3(1cos A)，所以 2sin A2cos A22 3sin2A2，tan A2 33.因为 0A，故 A3.(2)根据正弦定理得 asin A143，b143sin B，c143sin C.因为 sin Bsin C13 314，所以 bc13.由余弦定理得 a2b2c22bccos 3，得 bc40.因此ABC 的面积为12bcsin A10 3.2如图，在斜三棱柱 ABCA1B
2、1C1 中，A1ABA1AC，ABAC，A1AA1Ba，侧面B1BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120，E，F 分别是棱 B1C1，A1A 的中点(1)证明：A1E平面 B1FC；(2)求直线 A1C 与底面 ABC 所成的角的大小(1)证明 取 BC 的中点 G，连接 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点，连接 PF，AG.在平行四边形 AGEA1 中，F 为 A1A 的中点，A1EFP.而 FP平面 B1FC，A1E平面 B1FC，故 A1E平面 B1FC.(2)解 过 A1 作 A1H平面 ABC，垂足为 H.连接 HC，则A1CH 就是直线 A1C 与底
3、面 ABC 所成的角BCA1H，BCAG，A1HAGH，BC平面 A1GH，又AA1平面 A1GH，BCAA1，而 GECC1A1A，A1EAG，EGBC.于是AGE 为侧面 B1BCC1 与底面 ABC 所成二面角 ABCE 的平面角由四边形 A1AGE 为平行四边形，得A1AG60.AA1a，A1H 32 a.连接 A1C，ACAB，AA1AA1，A1ACA1AB，A1ACA1AB，A1Ca，sinA1CHA1HA1C 32，故直线 A1C 与底面 ABC 所成的角为 60.3已知数列an中，a11，其前 n 项和为 Sn，且满足 an 2S2n2Sn1(n2)求证：(1)数列1Sn 是等
4、差数列；(2)当 n2 时，S112S213S31nSn32.证明(1)当 n2 时，SnSn1 2S2n2Sn1，Sn1Sn2SnSn1，1Sn 1Sn12，从而1Sn 构成以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)可知，1Sn 1S1(n1)22n1，Sn12n1，当 n2 时，1nSn1n2n11n2n2121nn1121n11n，从而 S112S213S31nSn1121121213 1n11n 32 12n2|MN|，根据椭圆的定义，得点 Q 的轨迹 E 是以 M，N 为焦点的椭圆，a2，c1，b 3.轨迹方程为x24y231.(2)由题意知 SABD2SABO212|AB|
5、dd|AB|(d 为点 O 到直线 l 的距离)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 ykx1，联立ykx1，x24y231，消去 y，得(34k2)x28kx80.64k232(34k2)192k2960，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8k34k2，x1x2 834k2，则|AB|1k2x1x224x1x24 612k21k234k2，又 d11k2，SABDd|AB 4 612k234k2，令 12k2t，由 k20，得 t1，SABD 4 6t2t21 4 62t1t，t1，易证 y2t1t在)1，上单调递增，2t1t3，SABD4 63，ABD 面积 S 的最大值为4 63.
