1、高三数学选填专题练习（32）培优冲刺（2）难度评估：困难 测试时间：60分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)给定全集，非空集合满足，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为A48B49C50D512(本题5分)已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）ABCD3(本题5分)已知平行四边形中，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，如图，若，均是线段的三等分点，点是线段上（包含端点）的动点，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）A BCD4(本题5分)我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分
2、布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）ABCD5(本题5分)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，ABE，BEC，ECD均是边长为1的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A3BCD6(本题5分)定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的值等
3、于ABCD7(本题5分)已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（ ）A13B14C15D168(本题5分)若沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的为“和谐三角形”，设的三个内角分别为，则下列条件不能够确定为“和谐三角形”的是A；BCD9(本题5分)已知、分别是的三边、上的点，且满足，则（ ）ABCD10(本题5分)中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形A
4、BCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A BCD11(本题5分)在直角坐标系内，已知是上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若上存在点，使，其中、的坐标分别为、，则的最大值为A4B5C6D712(本题5分)如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥，四边形是正方形，点为正方形的中心，平面；下部的形状是长方体.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与高度成正比，比例系数为.若欲造一个上、下总高度为10,的仓库，则当总造价最低时，（ ）ABC4D二、填空题(共20分)13(本题5分)如图，在
5、的点阵中，依次随机地选出，三个点，则选出的三点满足的概率是_.14 (本题5分)已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数n的值为_15(本题5分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是_异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；与PD所成的角为；与EF所成角为16(本题5分)如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点F，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个
6、焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为_参考答案1B【详解】 时，B的个数是 时，B的个数是 时，B的个数是 ， 时，B的个数是1 时，B的个数是， 时，B的个数是时，B的个数是1，时，B的个数是时，B的个数是1时，B的个数是1 时，B的个数是 时，B的个数是1、 时，B的个数是1 时，B的个数是1 时，B的个数是1 的有序子集对的个数为49个，故选：B.2B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.表示圆C上的点到的距离，的最大值是，故选：B.3B【
7、分析】由题可得平面，过点作，交于点，过作，垂足为，连接，可得为二面角的平面角，设（），则可得，利用二次函数的性质即可求解.【详解】在中，所以由余弦定理得，所以，所以，由翻折的性质可知，又平面平面，平面平面，所以平面，过点作，交于点，则平面，所以，过作，垂足为，连接，则平面，所以为二面角的平面角设（），则，所以，所以由二次函数的单调性知，在上的值域为，所以，即二面角的正弦的取值范围为故选：B.4A【分析】首先得出若，则，然后，设利用错位相减法即可得出，然后可得答案.【详解】因为，若，则那么设时，故选：A5B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数
8、表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，圆的方程为，可设，所以 故所以的最大值为故选：B6B【详解】试题分析：当时，则由，所以，当时，由得，解得或，当时，由得，解得或，所以，故选：B.7C【分析】根据题意有均为整数，转化为，不难发现当时均为非负整数，验证当、时和是否为整数.【详解】解：由得，要使为整数，必有均为整数，所以，当时均为非负整数，所以为整数，共有14个，当时，在中因数2的个数为，同理计算可得因数2的个数为82，因数2的个数为110，故中因数2的个数为，从而是整数，当时，同理中因数2的个数小于10，
9、从而不是整数，因此，整数项的个数为，故选：C.8B【详解】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足1+23，当ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当ABC为锐角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：ABC一定是锐角三角形，A.A:B:C=，ABC是锐角三角形，故是和谐三角形，B.，,ABC是钝角三角形，故不是和谐三角形，C.，ABC是锐角三角形，故是和谐三角形，D.，ABC是锐角三角形，故是和谐三角形，故选：B.9D【分析】如图，由，可知，得
10、到，由，可得，得到，由，可得，得到，连接，可得四点共圆，因此，又，可得，又，可得，即可得出.【详解】解：如图所示，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，连接，因为，所以四点共圆，所以，又因为，所以，所以，所以，所以,因为，所以，所以，所以所以故选：D.10C【分析】根据题意，画出平面图像，通过计算得出五边形及阴影部分的面积，代入几何概型概率公式即可得解.【详解】sin36cos54，2sin18cos18=4cos3183cos18，化为：4sin218+2sin181 0，解得sin18.如图：不妨设A2E2=1.根据题意知，B1A1E2A1A2E2，.A1E2，S2sin7
11、2.S2A2B1sin36.正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，.S4sin36.S3=5sin72，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率.故选：C.11C【详解】联立，得，即的圆心为，则该圆半径为，即的方程为，若上存在点，使，且、的坐标分别为、（不妨设），即和有公共点，则，即，即，即的最大值为6，故选：C.12B【分析】取的中点为，表示OE，由于平面，在中，设，表示，从而分别表示上部屋顶面积，下部主体的高度，进而表示仓库的总造价的函数关系，利用求导分析单调性，再求得最小值，即为答案.【详解】如图，设的中点为，连接，则.由于平
12、面，则有；在中，设，则有，所以上部屋顶面积为，下部主体的高度为，所以仓库的总造价为.设，所以.令，得，所以；则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以当时，有最小值，此时，故选：B.13【分析】从反面的角度做，讨论的是为主元，故对分三种情况讨论，如图：第一类为5号点；第二类为1，3，7，9号点；第三类为2，4，6，8号点；分别求得的所有情况，计算即可得解.【详解】由题意可知，三个点是有序的，从反面的角度做，讨论的是为主元，故对分三种情况讨论，如图：第一类为5号点；第二类为1，3，7，9号点；第三类为2，4，6，8号点；（1）当为5号点时，则（i），三点共线有四条直线，故，（ii），则，如在
13、1号位，和，即确定第二个点的位置有四种方法，第三个点的位置有两种方法，然后排列，即方法数为：，共有种.（2）当为第二类点不存在这样的点；（3）当为第三类点，以2号点为例，有三种如图所示：故有，综上共有64中，故.故答案为：.1413【分析】求出的所有非空子集中的最小元素的和，利用，即可求出最小正整数的值.【详解】当时，的所有非空子集为：，所以.当时，.当时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有个元素，共有个非空子集，.当最小值为时，不含，含，共有个元素，有个非空子集，.所以.因为，即.所以使得的最小正整数的值为.故答案为：.15【分析】可证明平面,可得正确；连接,取中点,异面直线与所成
14、的角为，由余弦定理可证明正确；取中点，连接，异面与所成的角为，由余弦定理可得不对；异面与所成角的为，由余弦定理可得不对，从而可得结果.【详解】的边长为4，折成正四面体后，如图，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，；连接FG，取中点M，可得，异面直线PG与DH所成的角的平角为；，连接MD，可得；在中，余弦定理：；对；对；取DF中点N，连接GN，NH，可得异面GH与PD所成的角的平面角为，由余弦定理，GH与PD所成的角是；对；异面PG与EF所成角的平面角为，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是不对故答案为16【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面分别交两个球于点和点，则可得：点和点是椭圆的两个焦点当且仅当在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，为圆柱的高，为球的半径，则为，为，然后建立以为坐标原点，以为轴，以为轴的平面直角坐标系，易知：，圆的方程为：设直线的斜率为，则该直线的方程为：根据相切可知：点到直线的距离为则有：解得：故直线的方程为：则有：则因，则直线的方程为：联立直线和直线的方程：可解得：则解得：故椭圆的最大离心率为：故答案为：.
