1、温馨提示: 此题库为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word文档返回原板块。 考点31 数学归纳法解答题1.(2014广东高考理科)(14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列an的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3. (2)利用an=Sn-Sn-1(n2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4
2、n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n2),当n2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(nN*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+= (2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于nN*,有an=2n+1,数列an的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)an+1-2(n
3、+1)+1=(2n+2)an+2-2(n+2)+1,又a1-(21+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.2.(2014安徽高考理科21)设实数,整数,.(1)证明:当且时,;(2)数列满足,证明:【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】(1)用数学归纳法证明当p=2时,原不等式成立。假设时,不等式成立,当p=k+1时,=,所以p=k+1时,原不等式成立。综上可得,当且时,对一切整数p1,不等式均成立。(2)设,并且,由此可得上单调递增,因而,当时,。当n=1时,由,即可知=,并且,从而。故当n=1时,不等式成立。假设时,不等式成立,则当n=k+1时,成立,即,所以n=k+1时,原不等式也成立。综合可得,对一切正整数n,不等式均成立。8.关闭Word文档返回原板块