1、安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛（高二）数学（理科）试题答案选择题：1-12 BCCDCDBAACDB1.B【解析】|ln1 1,Mx yx （），2|20Nx xx,02,，NCR=(0,2)，NCMR1,2 2.C【解析】设013i2z ，则2013i2z ，301z，40013i2zz，所以0nz的值以 3 为周期呈周期性出现，故202000zzz，所以013i2zz，在复平面内对应的点在第三象限3.C【解析】样本空间为,|0,1,0,1x yxy，是一个面积为1的正方形，所求事件所包含的样本点在直线 yx与直线12yx之间，且在样本空间的正方形内，其面积为38，所以所求事件
2、的概率为38 4.D【解析】由全称命题的否定形式，易知答案 D 正确5.C【解析】当点 P 到圆心2C 距离最大时，切线段 PQ最长，212min16PCC C，此时22624 2PQ 6.D【解析】21()cos3sincossin 226f xxxxx，由3222262kxk，k Z，得263kxk，k Z，所以 f x 的单调递减区间为2,63kk，k Z 可知正确；由sin 21336f ，可知()f x 的图象关于直线3x 对 称，所 以 正 确；当,4x 时，2132,636x ，所 以3()sin 21,62f xx ，故正确7.B【解 析】取 BC 的 中 点 D，由 0MBM
3、CBC，得0MD BC，所 以AM BC AD BCDM BC AD BC 12 ABACACAB2212 ACAB221 4226 8.A【解析】设00,P xy为2yf x图象上任一点，则000242yf xfx，所以点002,Qx y在函数4yfx的图象上，而00,P xy与002,Qx y关于直线1x 对称，所以函数2yf x与4yfx的图象关于直线1x 对称9.A【解析】令1txx，因为0 x ，所以2t，则函数 f x 转化为9926ytttt，当且仅当3t ，即13xx，也即352x时，等号成立10.C【解 析】设 过 点,0A t的 直 线 方 程 为 xmyt，代 入28yx
4、得2880ymyt 设11,B x y，22,C xy，则128yym，128y yt，所 以2221212122yyyyy y26416mt，11BFCF121122xx21128y22128y221222221212825616256yyy yyy2222228 64162561824126416 64162568222mtmttmtmtt，要使该式对 m 所有可能取值均为常数，则21242t，故2t 或 2 11.D【解析】固定正四面体 ABCD不动，则其内切球也随之固定，考虑顶点 A 与正六面体（即正方体）的顶点的距离当正方体的顶点在球面上移动时，顶点 A到球面上点的距离最小值就是顶点
5、 A 与正方体顶点距离的最小值由正四面体的内切球半径为 1，知球心到顶点 A 的距离为 3，所以顶点 A 到球面上点的距离最小值为3 12 12.B【解析】e1xx，2121 lnee21 ln12lnxxxxxxxx ，等号成立条件为 21 ln0 xx ，21eln2lnln2xxaxxxxaxxa x，只需 20a，即2a 填空题13.【答案】21yx【解析】设切点坐标为000,exxx，由xyex得e1xy ，所 以 切 线 方 程 为0000e1exxyxxx，因 为 切 线 过 点 1,1，所 以00001e11exxxx ，即00e0 xx，所以00 x ，即所求切线方程为21y
6、x 14.【答案】8mn【解析】因为ix，iy0,2，所以214iixy 表示的数对对应的点,iix y 在椭圆2214xy 的内部，且在第一象限，其面积为2 142 ，故222mn，得8mn 15.【答案】27 32【解析】设 ACx，BDy，则2CDy在ABD和ACD中分别由余弦定理得22292 1322 13 cosyyADB，22222 132 22 13 cosxyyADC，两式消去角，得2266xy，在ABC中由 余 弦 定 理 得 2223929cos60yxx ，即229819yxx，所 以22362981xxx，解得6x 或24x （舍去）所以ABC的面积为1327 3962
7、22S 16.【答案】3 或63【解析】设122F Fc当190AF B时，设1AFm，则1BFm，2ABm，22BFma，所以21222aAFAFma，所以2 2ma，在12BF F中由余弦定理，得222222 22 222 2 22 222caaaaaa，整理得3cea；当190ABF 时，设1BFm，则12AFm，ABm，22BFma，所以212222aAFAFma，所以42 2ma，在12BF F中由勾股定理，得222242 222 2caa，整理得36cea解答题17.【解】（1）由sinsintancoscosBCABC得sinsinsincoscoscosABCABC，即sinc
8、ossincosABACcossinABcossinAC，也即sincosABcossinAB=cossinACsincosAC，所以sin ABsin CA，所以ABCA或 +ABCA（不 成 立），所 以2BCA，则3A（4 分）（2）由正弦定理得2sinsinsinbcaBCA，所以2sinbB，2sincC因为3A，所以23CB，所以2bc22 sin2sin2 2sin3cos2 7 sin3BBBBB，其中 为锐角，且3sin7，2cos7 因为203B，所以23B，易知sinyx在,2x 单调递增，在2,23x 单调递减，所以2B时，2bc取得最大值 2 7，又233sinsin
9、32 77，所以2bc2 7 sin3B，故2bc的取值范围为 3 2 7，（12 分）18.【解】（1）由2411nnSa 得211411nnSa，两 式 相 减 并 整 理 得1120nnnnaaaa，na为正项数列，120nnaa，12nndaa，2nan由12334ccc得22426234qq，即261320qq，解得16q （舍去）或2q ，所以12nnb，2nncn（3 分）所以3nnc22nn，设22nnnk，因为212112nnnkkn 21n ，则12kk，3n 时，nk单调递减，又23918kk，所以nk的最大项为398k，故 的最小值为98（7 分）（2）由（1）知2nn
10、cn所以1231 2223 22nnMn 则2312 1 222122nnnMnn 得123122222nnnMn11222nnn1122nn所以1122nnMn（12 分）19.【解】（1）证明：记 AC 与 BD 交点为 O，PBPD，O 为 BD的中点，BDOP，又 ABCD 为菱形，BDAC AC 和OP 是平面 APC 内两条相交直线，BD 平面 APC 又 BD 平面 BPD，平面 APC 平面 BPD（2）设 POm，90APC，2ACm，又120BPD，所以60BPO，所以3BOm，因为2BCAB，所以在 RtBOC中，由勾股定理得1m ，3CP 由（1）知，BD 平面 APC
11、，平面 APC 平面 ABCD 以 O 为原点，OB 方向为 x 轴正方向，OC 方向为 y 轴正方向，建立如图空间直角坐标系则0,1,0A，0,1,0C，3,0,0D，130,22P130,22AP，330,22CP，3,1,0CD 设平面CPD 的法向量为,nx y z，则33030yzxy令1x ，解得3y ，3z ，即1,3,3n，2 32 39cos,13113AP nAP nAPn ，所以直线 AP 与平面 PCD 所成角的正弦值2 39sincos,13AP n 20.【解】（1）证明：（反证法）假设存在na，1na ，2na 三项成等比数列，则21+2nnnaa a，PABCD
12、Oxyz所以21+1nnnnaaaa，所以21110nnnnaaaa ，解得1152nnaa ，由条件可知Fibonacci 数列的所有项均大于 0，所以1152nnaa ，又 Fibonacci 数列的所有项均为整数，所以1nnaa 应该为有理数，这与1152nnaa （无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立（6 分）（2）证明：易验证1,2n 时命题成立假设 nk（*k N）时命题成立，即11515225kkka则1nk 时，11111151511515222255kkkkkkkaaa1111515151522225kkkk111151515151122225kk1212115151
13、51522225kk1111515225kk所以，1nk 时，命题也成立由可知，Fibonacci 数列的通项公式为11515225nnna（*nN）（12 分）21.【解】（1）设,P x y，则由题意得22421xxy，两边平方并整理得曲线 E 的方程为22143xy（4分）（2）易知直线 AB 的斜率存在且不为 0，可设 AB 的方程为2yk x，与22143xy 联立并消去 y 得2222341616120kxk xk，因为2x 是其一个根，所以解得另一根即点 B 的横坐标为228634Bkxk因为 ABAD，所以把 k 换成1k得D 的 横 坐 标 为228634Dkxk 则B、D
14、的 纵 坐 标 之 差 为122BDBDyyk xxk 2212123434kkkk22212773434kkkk242841122512k kkk所以四边形ABCD的面积S12BDAB yy2428412 122512k kkk22116811225kkkk211681121kkkk116811121kkkk116811121kkkk令1tkk，则168112Stt（2t），易知 S 在2t 时单调递减，所以2t 时，S 取得 最 大 值 487，此 时，1k 所 以 四 边 形 ABCD 的 面 积 的 最 大 值 为487（12 分）22.【解】（1）f x 有两个不同的零点e(0)xx
15、a a 有两个不同的根令 exg xx，则 1exgxx，易得1x 时，0gx，函数 g x 单调递减；1x 时，0gx，函数 g x 单调递增当 x 时，e0exxxg xx，当x 时，exg xx ，又 11eg ，结合图象可知，要使函数 exg xx的图象与直线 ya 有两个不同的公共点，则10ea ，所以，实数 a 的取值范围为10ea（2）令 11h xgxgx （0 x ），则 11h xgxgx 11eexxxx ee0exxx，所以 h x 单调递增，故 00h xh，所以 11gxgx （0 x ）不妨设12xx，则结合图象易得121xx ，110 x ，由条件知2111111112g xg xgxgxgx ，又21x ，121x ，以及函数 g x 在1x 时单调递增，得212xx ，所以122xx
