1、第4讲 函数的奇偶性与周期性 课标要求考情风向标1.结合具体函数，了解奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题函数定义等价形式图象性质奇函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)0 关于原点对称偶函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)0 关于_对称1.函数的奇偶性y 轴2.函数的周期性对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个
2、 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.1.下列函数为奇函数的是()A.y xB.yexC.ycos xD.yexexD解析：函数 y x和 yex 是非奇非偶函数；ycos x 是偶函数；yexex 是奇函数.故选 D.2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.123.(2018 年新课标)下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称的是()BA.yln(1x)C.yln(1x)B.yln(2x)D.yln(2x)4.(2019 年新课标)设 f(x
3、)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()D解析：设x0，f(x)ex1，f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1，则当x0时，f(x)ex1.A.ex1 B.ex1 C.ex1 D.ex1考点 1 判断函数的奇偶性例 1：(1)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函)数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：依题意，得对任意 xR，都有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f
4、(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A 错误；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B 错误；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C 正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D 错误.故选 C.答案：C)(2)设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A.f(x)f(x)是奇函数B.f(x)|f(x)|是奇函数C.f(x)f(x)是偶函数D.f(x)f(x)是偶函数解析：A 中 F(x)f(x)f(x)，则 F(x
5、)f(x)f(x)F(x)，即函数 F(x)f(x)f(x)为偶函数，A 错误；B 中 F(x)f(x)|f(x)|，F(x)f(x)|f(x)|，此时 F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数 F(x)f(x)|f(x)|的奇偶性不确定，B 错误；C 中 F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数 F(x)f(x)f(x)为奇函数，C 错误；D 中 F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数 F(x)f(x)f(x)为偶函数，D 正确.答案：D(3)(2015 年北京)下列函数中为偶函数的是()B.yx2cos xD.y2xA.yx2sin x
6、C.y|ln x|答案：B(4)下列函数为奇函数的是()A.f(x)2x12xB.g(x)x3sin xC.h(x)2cos x1 D.(x)x22x答案：A解析：对于选项 A 中的函数 f(x)2x12x2x2x，函数定义域为 R，f(x)2x2(x)2x2xf(x)，则该函数为奇函数；对于选项 B 中的函数 g(x)x3sin x，函数定义域为 R，g(x)x3sin(x)x3sin xg(x)，则该函数为偶函数；对于选项 C 中的函数 h(x)2cos x1，函数定义域为 R，h(x)2cos(x)12cos x1h(x)，则该函数为偶函数；对于选项D 中的函数(x)x22x，(1)3，
7、(1)32，则(1)(1).则该函数为非奇非偶函数.故选 A.(5)下面函数中，与函数 f(x)lg1x1x有相同的奇偶性的是()A.yx31 B.ye01e01C.y|2x1|2x1|D.y12x112 答案：D解析：f(x)的定义域为(1,1)，且对定义域内任意 x，f(x)lg1x1xlg1x1x1lg1x1xf(x)；又可以验证 f12 f12，因此，f(x)是奇函数但不是偶函数.用同样的方法可有：yx31 既不是奇函数又不是偶函数；ye01e010(xR)既是奇函数又是偶函数；y|2x1|2x1|是偶函数而不是奇函数，只有 y12x112是奇函数但不是偶函数，故本题应选 D.【规律方
8、法】判断函数奇偶性的方法：定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶 函数的定义来判断，即若有 f(x)f(x)或fxfx0，fxfx1，则 f(x)为奇函数；若有f(x)f(x)或fxfx0，fxfx1，则 f(x)为偶函数；图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法；复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活的变形配凑来判断.考点 2 根据函数的奇
9、偶性求参数的值(范围)偶函数，则 a_.例 2：(1)(2015 年新课标)若函数 f(x)xln(x ax2)为答案：1解析：由题意知，yln(xax2)是奇函数，ln(xax2)ln(x ax2)ln(ax2x2)ln a0.解得 a1.(2)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析：由题意知，f(x)的定义域为 R，f(1)f(1).从而有ln(e31)aln(e31)a.解得 a32.答案：32(3)函数 f(x)9xa3x 的图象关于原点对称，g(x)lg(10 x1)bx 是偶函数，则 ab()A.1 B.1C.12 D.12答案：D解析：函数 f(x)的图象关于原点对
10、称，且当 x0 时，f(x)有意义，f(0)0，得 a1.又 g(x)为偶函数，g(1)g(1).得 b12.ab12.故选 D.【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法：先利用f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.考点 3 函数奇偶性与周期性的综合应用例 3：(1)(2017 年山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，_.解析：由 f(x4)f(x2)，得 T6,f(919)f(15361)f(1)f(1)6(1)6.答案：6且f(x4)f(x2).若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)(2)(2018 年新课标
11、)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x).若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50B.0C.2D.50解析：f(1x)f(1x)f(2x)f(x)f(2x)f(x)f(x)f(x4)f(x)，f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(0)0，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(4)0.则 f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)f(2)2.答案：C(3)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)2x1，则()A.f(6)f(7)f112B
12、.f(6)f112 f(7)C.f(7)f112 f(6)D.f112 f(7)f(6)解析：f(x2)f(x)，则 f(x4)f(x2)f(x)，函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数.又f(x)为定义在 R 上的奇函数，f(x)f(x)，f(0)0，f(6)f(42)f(2)f(0)0，f(7)f(81)f(1)2111，答案：Bf112 f432 f32 f12 f12 21，f(6)f112 f(7)，故选 B.(4)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上，f(x)xa，1x0，25x，0 x1，其中 aR.若 f52 f92，则f(5a)的值是_.解析：
13、f52 f12 f92 f12 12a1225a35，因此 f(5a)f(3)f(1)f(1)13525.答案：25【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题.在涉及函数求值问题中，可利用周期性f(x)f(xT)，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可.【跟踪训练】1.(2016 年四川)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则 f52 f(1)_.2解析：函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，f(1)f(1)0，f(1)f(12)f(1).f(1)0.又
14、 f52 f122 f12 f12 4122，f52 f(1)2.难点突破函数对称性质的判断及应用函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称.其中真命题的个数是()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个例题：定义在 R 上的函数 f(x)满足 fx32 f(x)0，且函数 yfx34 为奇函数，给出下列命题：函数 f(x)的最小正周期是32；函数 yf(x)的图象关于点34，0 对称；解析：(1)由 fx32 f(x)0 知 f(x)为周期函数，且周期为3，故不正确；由函数 yfx34 为奇函数，知 f(x)关于34，0 对称，故正确；由 f(x)关于34，0 对称，可知 f(x)f32x 0，
15、又 fx32f(x)0，f32x fx32，f(x)f(x).f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故正确.答案：C或fx34 是奇函数，fx34 fx34，又 fx32f(x)0，即 fx32 f(x).fx34 fx34 32 fx34 fx34，即 f(x)f(x).【跟踪训练】2.(2018 年新课标)已知函数 f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则 f(a)_.2解析：令 g(x)ln(1x2x)，g(x)ln(1x2x)，g(x)g(x)ln(1x2x)ln(1x2x)ln(1x2x2)ln10，g(x)g(x)，g(x)为奇函数，f(a)g(a)14，g(a)3，则 f(
16、a)g(a)1g(a)1312.1.在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也是.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性；分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上奇偶性.解析式周期特征f(xa)f(x)Taf(xa)f(x)T2a相反T2a互倒T2a反倒f(xa)f(xa)T2af(x)f(xa)
17、f(xa)T6a2.函数的周期性与对称性性质总结：(1)周期性：对任意的 xD，都有 f(xT)f(x)，则 T 叫做函数 f(x)的周期.f(xa)1fxf(xa)1fx解析式 f(xa)f(xa)f(ax)f(ax)f(ax)f(ax)特征x 前系数相同x 前系数相反，且 f前系数相同x 前系数相反，且 f前系数相反结论周期 T2a轴对称关于 xa 轴对称中心对称关于(a,0)中心对称类比f(x2a)f(x)f(x)f(x)f(0 x)f(0 x)偶函数，关于 x0 对称f(x)f(x)f(0 x)f(0 x)奇函数，关于(0,0)对称(2)比较周期性与对称性：解析式结论记忆f(xa)f(
18、xb)T|a(b)|ab|消去 xf(ax)f(bx)消去 x，相加除 2f(ax)f(bx)消去 x，相加除 2f(ax)f(bx)c消去 x，相加除 2(3)如何计算一般形式的周期和对称(这是一个函数自身的对称关系)：关于直线 xab2 对称关于点ab2，0 对称关于点ab2，c2 对称解析式结论记忆yf(ax)与 yf(bx)相等求 xyf(ax)与 yf(bx)相等求 x(4)两个函数的对称关系：关于直线 xba2 对称关于点ba2，0 对称对称性周期性周期f(x)的图象有两条对称轴 xa 和 xbf(x)为周期函数2|ba|为一个周期f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)f(x)为周期函数2|ba|为一个周期f(x)的图象有一条对称轴 xa 和一个对称中心(b,0)f(x)为周期函数4|ba|为一个周期(5)周期与对称的关系：
