1、第3讲 函数的奇偶性、周期性A级基础练1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()AyBy|x|1Cylg x Dy解析：选By为奇函数；ylg x的定义域为(0，)，不具备奇偶性；y在(0，)上为减函数；y|x|1在(0，)上为增函数，且在定义域上为偶函数2(2020高考全国卷)设函数f(x)x3，则f(x)()A是奇函数，且在(0，)单调递增B是奇函数，且在(0，)单调递减C是偶函数，且在(0，)单调递增D是偶函数，且在(0，)单调递减解析：选A方法一：函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)(x)3x3f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D因为函数yx3
2、，y在(0，)上为增函数，所以f(x)x3在(0，)上为增函数，排除B，故选A方法二：函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)(x)3x3f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D当x(0，)时，由f(x)x3，得f(x)3x20，所以f(x)x3在(0，)上为增函数，排除B，故选A3设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3x7x2b(b为常数)，则f(2)()A6 B6C4 D4解析：选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x7x2b，所以f(0)12b0，所以b.所以f(x)3x7x1，所以f(2)f(2)(32721)6.选A4.已知定义域
3、为R的奇函数f(x)满足ff，且当0 x1时，f(x)x3，则f()A BC D解析：选B因为ff，所以ffff，又因为函数为奇函数，所以ff.5已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm()A0 B2C4 D8解析：选Bf(x)1.设g(x)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0.因为Mf(x)max1g(x)max，mf(x)min1g(x)min，所以Mm1g(x)max1g(x)min2.6已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)_.解析：f(1)g(
4、1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.答案：37设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x0，1时，f(x)x1，则f_解析：依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则fff1.答案：8设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8)_解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(8)f(8)log392，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log331.答案：19设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)
5、试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式解：(1)因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，所以f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f
6、(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.B级综合练11已知函数yf(x)，满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A BC D解析：选B由yf(x)和yf(x2)是偶函数知，f(x)f(x)，f(x2)f(x2)f(x2)，故f(x)f(x4)，则F(3)f(3)
7、f(3)2f(3)2f(1)2f(1)，故选B12(2021贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)2x，当1x1时，f(x)f(x)，当x时，ff，则f(5)()A BC2 D2解析：选B因为当x时，ff，所以f(x1)f(x)，所以f(5)f(1)因为当1x1时，f(x)f(x)，所以f(1)f(1)又当x0时，f(x)2x，所以f(5)f(1)f(1)21，故选B13已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于
8、f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)14已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，
9、3C级提升练15定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，当x(3，0时，f(x)x1，当x(0，2时，f(x)log2x，则f(1)f(2)f(3)f(2 021)()A404 B405C806 D809解析：选A定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x(0，2时，f(x)log2x，所以f(1)log210，f(2)log221.当x(3，0时，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.故f(1)f(2)f(3)f(2 021)404f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 021)4041f(1)4040404.16已知R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(x)，当x(1，1)时，f(x)则f(logb a)f(a)f_解析：当0x1时，1x0，f(x)x22x，f(x)a(x)2b(x)ax2bx，由f(x)f(x)，得ax2bx(x22x)，求得a1，b2.又函数f(x)满足f(1x)f(x)，则f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数所以f(logb a)f(a)ff(log21)f(1)ff(0)f(1)ff(0)f(0)ff.答案：
