1、-1-5.1 二项式定理目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式.3.能解决与二项式定理有关的简单问题.目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1 2 目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1 2 说明1.二项展开式的特征(1)二项展开式共有n+1项;(2)二项式系数依次为组合数C0,C1,C2,C,C;(3)各项次数都等于二项式的幂指数n;(4)字母a的指数由n开始按降幂排列到0,字母b的指数由0开始按升幂排列到n.2.一个二项展开式的某一项的二项式系数C与这一项的系数(二项式系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项
2、式系数一定为正值,而项的系数既可以是正值也可以是负值,还可以是 0.目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1 2 3.二项式定理通常有如下变形 4.不仅能利用二项式定理展开式子,还能逆用二项式定理来合并式子.目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1 2【做一做1】(x+2)n的展开式共有11项,则n等于()A.9B.10C.11D.8 解析:因为(x+2)n的二项展开式应共有n+1项,由题意,得n+1=11.解得n=10.答案:B 目标导航 知识梳理 典例透析 随堂演练 1 2【做一做 2】1+C101+C102+C1010=_.解析:令(1+x)10 的二项展开式中 x=1,得 1+C1
3、01+C102+C1010=210=1 024.答案:1 024 知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 二项式定理的应用 【例 1】(1)求 +1 6的展开式;(2)化简:C0(+1)C1(+1)1+C2(+1)2 +(1)C(+1)+(1)C.分析:对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特点,逆用二项式定理求解.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)+1 6=C60()6+C61()5 1 +C62()4 1 2+C63()3 1 3+C64()2 1 4+C65 1 5+C66 1 6=
4、3+62+15+20+15 1+62+13.(2)原式=C0(+1)+C1(+1)1(1)+C2(+1)2(-1)2+C(+1)(1)+C(1)=(+1)+(1)=.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】(1)求 -12 4的展开式.(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一:-12 4=C40()4 C41
5、()3 12 +C42()2 12 2 C43 12 3+C44 12 4=2 2+32 12+1162.方法二:-12 4=2-12 4=1162(2 1)4=1162(164 323+242 8+1)=2 2+32 12+1162.(2)原式=C50(1)5+C51(1)4+C52(1)3+C53(1)2+C54(1)+C55 C55=(1)+1 5 1=5 1.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 求展开式中的特定项及系数 【例 2】已知 3-12 3 的展开式中,第 6 项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数及二项式系数;(3)求展开
6、式中所有的有理项.分析利用二项展开式的通项公式求解.解:(1)由题意得,Tr+1=C(x3)n-r -12 3 =(-1)r 12 C-23(r=0,1,2,n),T6=T5+1=(-1)5 12 5C5 -103.又第 6 项为常数项,-103=0,n=10.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)由(1)知 Tr+1=(-1)r 12 C10 10-23,令10-23=2,得 r=2.x2 的系数为(-1)2 12 2 C102=454.含 x2 这一项的二项式系数为C102=45.(3)由题意得,10-23 为整数,其中 0r10,rZ.Tr+1 为有
7、理项,10-23 为有理数,10-2r=0 或 10-2r=6 或 10-2r=-6,得 r=5 或 r=2 或 r=8.有理项为T3=C102 12 2x2=454 x2,T6=C105 -12 5=-638,T9=C108 -12 8x-2=45256x-2.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用二项展开式的通项解决问题时要注意以下几点:(1)(a+b)n展开式的通项是 Tr+1=Can-rbr,如 T6=T5+1=C5an-5b5,代入公式时,千万不要代错;(2)常数项中不含字母;(3)注意系数与二项式系数的区别,系数是指未知数前面的数,包括正负
8、号,而二项式系数是特指C.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 2】(1)若 +x3 8的展开式中 x4 的系数为 7,则实数 a=.(2)已知二项式 x2+12 x 10.求展开式中的第5项;求展开式中的常数项.(1)解析二项式 +3 8展开式的通项为 Tr+1=C8ar8-43,令 8-43r=4,可得 r=3,故C83a3=7,易得 a=12.答案12知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)解 2+12 10的展开式的第 5 项为T5=C104(x2)6 12 4=C104 12 4x12 1 4=1058
9、x10.设第 k+1 项为常数项,则 Tk+1=C10(x2)10-k 12 =C10 20-52 12(k=0,1,2,10).令 20-52k=0,得 k=8,所以 T9=C108 12 8=45256,即第 9 项为常数项其值为 45256.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 二项式定理的应用 (1)证明 34n+2+52n+1=92n+1+52n+1=(9+5)-52n+1+52n+1=(14-5)2n+1+52n+1=142n+1-C2+11142n5+C2+12142n-152-+C2+121452n-C2+12+1 52n+1+52n+
10、1=14(142n-C2+11142n-15+C2+12142n-252-+C2+1252n).上式是 14 的倍数,能被 14 整除,所以 34n+2+52n+1能被 14 整除.【例3】(1)用二项式定理证明:34n+2+52n+1能被14整除;(2)求9192除以100的余数.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)解法一 9192=(100-9)92=10092-C921 100919+922 1009092-C9291 100991+992,前面各项均能被 100 整除,只有末项 992不能被 100 整除,于是求 992除以 100 的余数.因为
11、 992=(10-1)92=1092-C921 1091+C922 1090-+C9290 102-C9291 10+(-1)92=1092-C921 1091+C922 1090-+C9290 102-920+1=(1092-C921 1091+C922 1090-+C9290 102-1 000)+81,所以被 100 除的余数为 81,即 9192除以 100 的余数为 81.解法二由 9192=(90+1)92=C920 9092+C921 9091+C9290902+C9291 90+1,可知前面各项均能被 100 整除,只有末尾两项不能被 100 整除,由于C9291 90+1=8
12、 281=8 200+81,故 9192除以 100 的余数为 81.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:5151-1=(49+2)51-1=C510 4951+C511 49502+C5150 49250+C5151 251-1,除(C5151 251-1)以外各项都能被 7 整除.又 251-1=(23)17-1=(7+1)17-1=C170 717+C171 716+C1716 7+C1717 1=7(C170 716+C171 715+C1716),显然它能被 7 整除,5151-1 能被 7 整除.【变式训练3】求证:5151-1能被7整除.
13、知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点 混淆“系数”与“二项式系数”致误【例 4】设(x-2)n 的展开式中第二项与第四项系数之比为 12,试求含 x2的项.错解第二项系数为C1,第四项系数为C3,依题意,得C1C3=12.化简得 n2-3n-10=0,解得 n=5 或 n=-2(舍去),则 T4=C53x2(-2)3=-20 2x2.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析:错解中将“二项展开式的某项系数”与“二项展开式的二项式系数”混为一谈.事实上,这是两个既有联系又有区别的概念.当二项式的两
14、项本身的系数都为1时,展开式的二项式系数就是各项系数;当二项式系数本身的系数不都是1时,则另作别论.本题所给二项式第二项的系数不是1,而上面解答却按照系数是1的情形加以处理,因而出错.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 正解(x-2)n展开式的第二项与第四项分别为 T2=C1xn-1(-2)=-2nxn-1,T4=C3xn-3(-2)3=-2 2C3xn-3,依题意,得-2-2 2C3=12,化简,得 n2-3n-4=0.解得 n=4 或 n=-1(舍去).设(x-2)4的展开式中 x2项为第 r+1 项,则 Tr+1=C4x4-r(-2)r.由 4-r=2
15、,得 r=2,所以(x-2)4展开式中 x2项为 T3=C42x2(-2)2=12x2.知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 1 2 3 4 5 1(2x-1)5 的展开式中第 4 项的系数是()A.10B.-10C.20D.-20解析:由二项式通项,得 T4=C53 (2)2(-1)3=-102x2=-20 x2,则第 4项的系数为-20.答案:D 知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 1 2 3 4 5 解析:C5 5-xr=C5a5-rx2r-5,令 2r-5=3,解得 r=4.由C54 a=10,得 a=2.答案D 2 +5展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于()A.-
16、1B.12C.1D.2知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 1 2 3 4 5 3.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,则a1+a2+a6=.答案:120 知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 1 2 3 4 5 解析:Tk+1=C9(x2)9-k -12=-12 C9 x18-3k,当 k=3 时,T4=-12 3 C93 x9=-212 x9,所以第 4 项的二项式系数为C93=84,第 4 项的系数为-212.答案:84-2124 2-12 9的展开式中,第 4 项的二项式系数是 ,第 4 项的系数是 .知识梳理 典例透析 随堂演练 目标导航 1 2 3 4 5 5求1 99911除以8的余数.解:1 999=2 000-1=8250-1,1 99911=(8250-1)11=C110(8 250)11 C111(8 250)10+C119(8 250)2+C1110(8 250)1=811C110 25011 810C111 25010+-82C119 2502+2 7498+7.由上面展开式可知 1 99911 除以 8 的余数是 7.
