1、绵阳市高中2012级第二次诊断性考试数学（理工类）【题文】第卷（选择题，共50分）【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。【题文】1.某射击运动员在一次测试中射击10次，其测试成绩如下表：则该运动员测试成绩的中位数是(A) 2 (B) 8 (C) 8.5 (D)9【知识点】众数、中位数、平均数I2【答案】【解析】C 解析：根据题意得：该运动员射击10次命中环数从小到大的顺序如下，7、7、7、8、8、9、9、10、10、10；则该运动员测试成绩的中位数为故选：C【思路点拨】根据中位数的定义，结合表中数据，求出答案【题文】2.
2、在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【知识点】复数代数形式的乘除运算 L4【答案】【解析】D 解析：因为，则复数对应的点位于第四象限，故选D.【思路点拨】利用复数的运算法则与几何意义即可得出【题文】3“ ”是“直线与直线 互相垂直”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】A 解析：若，则直线x+y=1和直线xy=1互相垂直，是充分条件；若直线与直线互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A【思路点拨】根据充分必要条件的定义结合
3、直线垂直的性质，从而得到答案【题文】4如下程序框图所示，已知集合，集合，当时=（A） （B） （C） （D）【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D 解析：执行程序框图，有x=1y=1x=2输出1，2不满足条件x5，y=3，x=3，输出3，3不满足条件x5，y=5，x=4，输出5，4不满足条件x5，y=9，x=5，输出9，5不满足条件x5，y=17，x=6，输出17，6满足条件x5，退出循环，结束从而可得A=2，3，4，5，6，B=1，3，5，9，17故=3，5，故选：D【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，从而可得集合A，B，进而可求的值【题文】5.下图是某几何体的三视
4、图，则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D） 【知识点】由三视图求面积、体积 G2【答案】【解析】C 解析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和长方体的组合体，圆柱的底面直径为8，半径为4，高为8，故体积为：64，长方体的长，宽，高分别为：8，8，4，体积为：256，故几何体的体积V=，故选：C.【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和长方体的组合体，分别求出圆柱和长方体的体积，相加可得答案【题文】6.已知圆关于直线对称，则的最大值是（A） （B） （C） （D）【知识点】圆的一般方程H4【答案】【解析】C 解析：由圆关于直线对称，可得圆心在直线上，故有2a+b1=0，即 2
5、a+b=12，求得，故的最大值为，故选：C【思路点拨】由题意可得圆心在直线上，故有2a+b1=0，即 2a+b=1，再利用基本不等式求得的最大值【题文】7.已知平面区域在区域内随机选取一点M，且点恰好在区域上的概率为，若，则的取值范围为（A） （B） （C） （D）【知识点】几何概型K3【答案】【解析】B 解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合D1所表示的平面区域是三角形与D2所表示的平面区域是阴影部分的三角形（如图），由图可知D1=，由于，则0D22由于直线恒过点（0，2），则的斜率k0的取值范围是：（0，1故选B【思路点拨】找出D1、D2对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行
6、求解在解题过程中，注意三角形面积的应用【题文】8.某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3 个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（A）198个 （B）180个 （C）216个 （D）234个 【知识点】计数原理的应用J1【答案】【解析】A 解析：不选2时，有种，选2，不选Z时，有种，选2，选Z时，2在数字的中间，有种，当2在数字的第三位时，种，根据分类计数原理，共有72+72+36+18=198，故选：A【思路点拨】因为2，Z都是特殊元素，故需要对此进行分类，第一类，不选2时，第二类选2，不选Z时，第
7、三类，先2不选Z时，根据分类计数原理可得【题文】9.已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线相切于两点，则的斜率为（A）1 （B） （C） (D)3【知识点】抛物线的简单性质H7【答案】【解析】D 解析：点P在抛物线的准线上，抛物线的准线方程为：，抛物线C：，在第一象限的方程为，设切点A（m，n），则，由导数，得 y=2=，在切点A处的斜率为，直线PA的方程为：yn=（xm）将点（3，2）代人，得到2n=（3m） ， ，A（，2+2），同理，可以设切点B（a，b），得到在该点处的斜率为，直线PB的方程为：yb=（xa）将点（3，2）代人，得到2b=（3a） b=2 解得 ，B（，22），直线
8、AB的斜率为：，故选：D【思路点拨】首先，求出准线方程x=3，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限和位于第四象限的抛物线方程，分别设出切点，并求导，得到相应切点A、B的坐标，然后再由两点的斜率公式求出BF的斜率【题文】10.设函数当时，有，则的最大值是（A） (B) (C) (D) 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值B11 B12【答案】【解析】C 解析：，令，可得，1，则f（x）max=f（1）=1，b（0，；01，f（x）max=f（）=1，f（1）0，b（，b的最大值是故选：C【思路点拨】求导数，利用函数的单调性，结合x0，1时，有f（x）0，1，即可b的最大值【题文】第卷（非
9、选择题，共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.双曲线的离心率为 .【知识点】双曲线的几何性质H6【答案】【解析】 解析：因为双曲线，所以，所以离心率，故答案为。【思路点拨】根据双曲线的标准方程，可得a，b，c，从而可求双曲线的离心率【题文】12. 的展开式中的常数项为 .【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】-160 解析：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=26r（1）r=（1）r26r令 62r=0，解得 r=3，故展开式中的常数项为23=160，故答案为-160【思路点拨】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得
10、常数项【题文】13.等边的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则= .【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】 解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则=（+）（+）=（+）=（4222+22）=故答案为：【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值【题文】14.正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=1，BF=,将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P-DEF的体积是 .【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7【答案】【解析】 解析：根据题意知DPPE，DPPF，PEPF=
11、P，DP面PEF，而DP=2，EF=，PE=1，PF=2，由余弦定理得cosPEF=0，sinPEF=1，SEPF=PEEF=1=，VPDEF=VDPEF=2=故答案为： 【思路点拨】根据题意得DP面PEF，由此利用VPDEF=VDPEF，能求出三棱锥PDEF的体积【题文】15. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间D上的两个函数，若，使得|f（x0）g（x0）|1，则称f（x）和g（x）是D上的“接近函数”，D称为“接近区间”；若xD，都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）和g（x）是D上的“远离函数”，D称为“远离区间”给出以下命题：f（x）=x2+1与g（x）=x2+是（，+）上的“接
12、近函数”；f（x）=x23x+4与g（x）=2x3的一个“远离区间”可以是2，3；f（x）=和g（x）=x+b（b）是（1，1）上的“接近函数”，则b+1；若f（x）=+2ex与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是1，+）上的“远离函数”，则a1+其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【知识点】命题的真假判断与应用菁优A2【答案】【解析】 解析：对于，若f（x）=x2+1与g（x）=x2+，则|f（x0）g（x0）|=1恒成立，故f（x）=x2+1与g（x）=x2+是（，+）上的“接近函数”；故正确；对于，若f（x）=x23x+4与g（x）=2x3，则|f（x0）g（x0）|=|
13、x025x0+7|=|（x0）2+|，当x02，3时，|f（x0）g（x0）|1恒成立，故2，3是f（x）=x23x+4与g（x）=2x3的一个“接近区间”，故错误；对于，若f（x）=和g（x）=x+b（b）是（1，1）上的“接近函数”，则x0（1，1）使|f（x0）g（x0）|1，即x0（1，1）使x0+b1，即x0（1，1）使b+1+x0，令h（x）=+1+x，则h（x）=1，则当x（，）时，h（x）0，h（x）为增函数；当x（，1）时，h（x）0，h（x）为减函数；故当x=时，h（x）取最大值+1，则b+1；故正确；若f（x）=+2ex与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是1
14、，+）上的“远离函数”，即x1，+），|+2exx2ae2|=|a2ex+x2+e2|=|（xe）2+a|1，令p（x）=（xe）2+a，则p（x）在（，e）上递减，在（e，+）上递增，当x=e时，p（x）取最小值a；令q（x）=，则q（x）=，易得q（x）在（，e）上递增，在（e，+）上递减，当x=e时，p（x）取最大值；|a|1，即a1+或a1+故错误；故真命题有：，故答案为：【思路点拨】根据已知中“接近函数”和“远离函数”的定义，逐一分析题目中给定的四组函数是否符号定义，最后综合讨论结果，可得答案【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】
15、16.（本小题满分12分）2014年11月12日，科幻片星际穿越上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”现从调查人群中随机抽取12名如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）（1） 求从这12人中随机选取2人，至少有1人为“满意观众”的概率；（2） 以本次抽样的频率作为概率，从整个绵阳市观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到“满意观众”的人数，求分布列及数学期望。【知识点】茎叶图；列举法计算
16、基本事件数及事件发生的概率I2 K2【答案】【解析】（1）；（2） 2 解析：（1）设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，则为所选取的人中没有1人为“满意观众”， P(A)=1-P()=1-=1-=，即至少有1人为“满意观众”的概率为 4分 （2）由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为，即从观看此影片的“满意观众”的概率为，同理，不是“满意观众”的概率为6分由题意有=0，1，2，3，则P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=， 的分布列为0123P 10分 的数学期望E=0+1+2+3=212分【思路点拨】（1）由茎叶图可知从12人中任抽一人，其中低于9的有4人
17、，由古典概型概率公式可求；（2）利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数，由古典概型的公式可求【题文】17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点，作EFPB,垂足为F,（1） 求证：平面;（2） 求二面角的余弦值【知识点】线面平行的判定定理；二面角的平面角的求法.G4 G11【答案】【解析】（1）见解析；（2）。 解析：（1） 如图，连结AC、BD交于O，连结OE 由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为PAC的中位线， EO/PA EO面EBD，PA面EBD， PA/面EB
18、D4分 （2）由已知PD底面ABCD，得PDAD，PDCD 如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，=(2，2，-2)，(2，0，0)6分BACPDEFOxyz设F(x0，y0，z0)，则由=(x0，y0，z0-2)，得(x0，y0，z0-2)=(2，2，-2) ，即得于是F(2，2，2-2) =(2，2-1，1-2)又EFPB， ，解得 ， 8分设平面DAF的法向量是n1=(x，y，z)，则即令z=1，得n1=(0，-2，1)又平面PAD的一个法向量为n2=(0
19、，1，0)， 10分设二面角P-AD-F的平面角为， 则cos=，即二面角P-AD-F的余弦值为 12分【思路点拨】（1）连结AC、BD交于O，连结OE，结合线面平行的判定定理即可得到证明；（2）由已知PD底面ABCD，得PDAD，PDCD以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系分别求出平面DAF的法向量以及平面PAD的一个法向量，然后利用公式求解即可。【题文】18. （本小题满分12分）已知中，所对的边分别是a,b,c,且，（1） 求的值；（2） 若，求b的值。【知识点】余弦定理；正弦定理C8【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）由余弦定理得，则 4分()由A+B
20、+C=有C=-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，将，代入整理得7分根据，可得代入中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，解得 10分 由正弦定理有 12分【思路点拨】（1）利用余弦定理求出cosA，再利用平方关系，求sinA的值；（2）运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b【题文】19. （本小题满分12分）已知数列中，二次函数的对称轴为x=，（1） 试证明是等差数列，并求的通项公式；（2） 设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由。【知识点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；等差数列的前n项和D2 D4【答
21、案】【解析】（1）；（2）n=1，2，3 解析：（1） 二次函数的对称轴为x=， an0，整理得，2分左右两边同时乘以，得，即(常数)， 是以2为首项，2为公差的等差数列， ， 5分() ， ， -得： ，整理得 8分 =0， 数列Sn是单调递增数列10分 要使成立，即使， n=1，2，312分【思路点拨】（1）根据对称轴，得到，继而得到是以2为首项，以2公差的等差数列，根据等差数列的通项公式求出an，（2）利用错位相加法求出数列的前n项和为Sn，并利用函数的思想，得到成立的n值【题文】20. （本小题满分13分）已知椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率，椭圆E的右顶点与上顶点之间的距离
22、为。（1） 求椭圆E的标准方程；（2） 过定点且斜率为k的直线交椭圆E与不同的两点M,N,在线段MN上取异于M,N的点H,满足，证明：点H恒在一条直线上，并求出点H所在的直线方程。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)，由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2， 椭圆E的标准方程为 4分（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，联立方程消去，得，于是x1+x2=，x1x2= 7分又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
23、则可转化为，整理得： 10分将代入可得， 12分 ，消去参数得，即H点恒在直线上 13分【思路点拨】（1）设椭圆的标准方程为，焦点坐标为（c，0），由题知：，又a2=b2+c2，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，与椭圆的方程联立可得：，得到根与系数的关系又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，满足可得，进而解出x0用k表示，及其y0用k表示，消去k即可得出【题文】21. （本小题满分14分）已知函数，其中。（1） 若，求的极值点；（2） 试讨论的单调性；（3） 若，恒有（为的导函数），求a的最小值。【知识点
24、】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值B11 B12【答案】【解析】（1）；（2）在(0，+)上是减函数；（3） 解析：() ，x(0，+)， 1分 a=2时，=0， 解得x=，x=-1(舍)即的极值点为x0= 3分() （1）时，在上是减函数，在上是增函数;时， 对二次方程ax2+x-1=0，=1+4a，（2）若1+4a0，即时，ax2+x-10，故0，即a时，ax2+x-1=0的根为，若a0， 当x(，)时，ax2+x-10，即0，得是增函数；当x， (，+)时，ax2+x-10，即0，0， 当x(0，)时，ax2+x-10，即0，即0得是增函数
25、综上所述，时，在上是减函数，在上是增函数当时，在(0，+)上是减函数；当a0时，在(，+)上是增函数，在(0，)上是减函数7分()令，x0，于是令，则0，即p(x)在(0，+)上是增函数 p(x)=-(a+1)0，而当x+时，p(x)+， x0(0，+)，使得p(x0)=0 当x(0，x0)时，p(x)0，即0，即0，此时，h(x)单调递增， =由p(x0)=0可得，整理得，10分代入中，得=，由x(0，+)，恒有，转化为0，因为a0，式可化为0，整理得0，解得x01再由x00，于是0x0112分由可得令= ，则根据p(x)的单调性易得在是增函数， ，即00，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得hmin（x）=h（x0）=，从而化恒成立问题为最值问题，再转化为0，从而可得0e，从而求解
