1、第 1 页 共 4 页2022 年 10 月绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试数学试题（理科）命题人：文家强审题人：周瑞何建东一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 21 0 1 2A ，1|2 xxB，则BA=A.1,0,1B.2,1,1,2C.11xxD.11xxx或2.已知 ab，则下列不等式中，正确的是A22abB|abCsinsinabD 22ab3.已知等差数列an前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=A.100B.99C.98D.974.若 x，y 满足约束条件324yyx
2、yx，则yxz 3的最小值为A18B10C6D45已知R，则“sin 20”是“tan0 ”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6.在ABC中，点 D 在边 AB 上，DABD2，记nCDmCA,，则CBAnm23Bnm32Cnm23Dnm327核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA 实时监测，在 PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量 X 与扩增次数 n 满足0(1)nlgXnlgplgX,其中0X 为 DNA 的初始数量，p 为扩增效率已知某被测标本 DNA 扩增
3、 12 次后，数量变为原来的 1000 倍，则扩增效率 p 约为(参考数据：0.25101.778，0.25100.562)A 22.2%B 43.8%C56.2%D 77.8%8已知命题 p：0 x ，2sin1sinxx，命题 q：函数()sincosf xxax在区间(,)4 2 第 2 页 共 4 页上是减函数，则1a，下列结构中正确的是A命题“pq”是真命题B命题“pq ”是真命题C命题“pq”是真命题D命题“pq ”是真命题9.函数 )2|,0,0(sinAxAxf的部分图象如图所示，若将)(xf图象上的所有点向右平移 12 个单位得到函数 xg的图象，则关于函数)(xg有下列四个
4、说法，其中正确的是A函数)(xg的最小正周期为 2B函数)(xg的一条对称轴为直线12xC函数)(xg的一个对称中心坐标为)1,6(D xg再向左平移 6 个单位得到的函数为偶函数10.如图，在ABC 中，已知 AB2，AC8，BAC60，BC、AC 边上的两条中线 AM、BN 相交于点 P，则 AP 在 BP 上的投影为A334B772C2178D33411.已知Rba,0，若0 x时，关于 x 的不等式0)4)(12bxxax（恒成立，则实数ab2的最小值是A.2B.4C.22D.112.已知函数2)1(ln1)(txxxf的零点为1x，2ln)(txxxg零点为2x，则)1(ln12xx
5、t的最大值为A.1B.e21C.eD.e2二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知向量ba，满足3|2|,3|,1|baba，则ba.14.已知 O 为坐标原点，曲线xyC2log:在点(1,0)A处的切线交 y 轴于点 B，第 3 页 共 4 页则AOBS=.15.已知偶函数)(xf及其导函数)(xf 的定义域均为 R，记)()(xfxg，)(xf 不恒为 0，且)1()1(xfxf，则)2023(g=.16.数列na中，211 a，)(1)1(*1Nnnanaannnn，若不等式0)1(42tannnn对所有的正奇数 n 恒成立，则实数 t 的取值范围为三解答
6、题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分17（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn已知12nnaS（1）求数列 na的通项公式；（2）已知数列 nc是等差数列，且2311,Scac设nnncab，求数列bn的前 n 项和 Tn18（12 分）已知 021sincossin32xxxxf相邻两条对称轴之间的距离为 2（1）求的值及函数 f（x）的单调递减区间；（2）已知200，x，31)(0 xf，求)4(0 xf的值.19.（12 分）在ABC 中，
7、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且0cos2 aCb（1）求BCtan3tan的值（2）若2b，当角 A最大时，求ABC 的面积 S 第 4 页 共 4 页20.（12 分）已知函数 011aaxxaxf（1）若 xf的图像在1x处的切线l 的斜率为 4a，求实数 a 的值；（2）若对于任意的2,0 x，0 xf恒成立，求实数 a 的取值范围.21.（12 分）已知函数)(lnln2)(2Raxaxxxf.（1）令)()(xfxxg，讨论)(xg的单调性并求极值；（2）令xxfxh2ln2)()(，若)(xh有两个零点；（i）求 a 的取值范围；（ii）若方程ln0 xxeaxx
8、有两个实根1x，2x，12xx，证明：22121eexxxx（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22.在直角坐标系 xOy 中，点 A 是曲线221:(2)4Cxy上的动点，满足 2OBOA 的点 B 的轨迹是2C（1）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos(sinxttyt 为参数），点 P 的直角坐标是(1,0)，若直线l 与曲线2C 交于 M，N 两点，当线段|PM，|MN，|PN 成等比数列时，求 co
9、s 的值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数|21|xxxf，其中0（1）若对任意Rx，恒有 21xf，求的最小值；（2）在（1）的条件下，设的最小值为 t，若正数nm,满足tmnnm 2，求 2m+n的最小值第 1 页 共 6 页绵阳南山中学 2022 年秋绵阳一诊热身考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B2.D3.C4.C5.A6.B7.D8.C9.D10.A11.B12.B12 解：由题意，可得0)1(ln1)(2111txxxf，所以211lnt)1ln(1xx则211ln)1ln
10、(1texx，所以0)1(1121xext，又0ln)(2222txxxg，得0ln2ln22xetx，所以1121)1(xext=2lnln2xex因为xxey 在),0(上的单调递增，所以1ln12 xx，所以22212lnlnln)1(lnttxxtxxt，令2ln)(ttth，则3ln21)(ttth，当et 时，0)(th，)(th单调递减，当et 0时，0)(th，)(th单调递增，所以eehth21)()(min，二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分13.114.2ln2115.016328,（16.解：由)(1)1(*1Nnnanaannnn，得)(11)
11、1(1*1Nnnaannn，则1nna是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，则)1(1nnan，不等式0)1(42tannnn对所有的正奇数 n 恒成立，即tnn54，对所有的正奇数n 恒成立，当 n1 时，1054 nn，当 n3 时，1032854 nn，54)(nnnf在 nN*且 n3 上单调递增，328)(min nf，则实数 t 的取值范围为328,（三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：(本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)17
12、解：（1）因为 Sn2an1，所以 Sn+12an+11，第 2 页 共 6 页两式相减，可得 an+12an+12an，整理得 an+12an，因为在 Sn2an1 中当 n1 时，S1a12a11，所以 a11，所以数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12 nna；.6 分（2）易知 c1a11，c3S23，所以公差1d，所以ncn，所以12 nnnnncab，.8 分因为11022221nnnT，则nnnnnT22)1(22212121两式相减可得12)1()222(2110nnnnnnT，即12)1(nnnT.12 分18解：（1）2122cos12sin2321sin
13、cossin32xxxxxxf)62sin(2cos212sin23xxxxf相邻两条对称轴之间的距离为 2，1,22221)62sin(xxf；由Zkkxk2236222，解得Zkkxk326，xf的单调递减区间为Zkkk32,6；.6 分（2）由（1）知 31)62sin(00 xxf，67,662,2,000 xx213162sin00 x，,65620 x322)62cos(0 x322)22cos(6)4(2sin)4(000 xxxf.12 分19解：（1）因为0cos2 aCb，所以0sincossin2ACB,0)sincossin2CBCB（CBCBcossin3cossin
14、3,),0(CB、所以0tan3tanBC.5 分（2）法 1：由），（2,0cos2CaCb，0tan),2,0(BB第 3 页 共 6 页33tan3tan12tan31tan2)tan(tan2BBBBCBA当且仅当6B时等号成立，则角 A最大值为 6.9 分因为2b，由6sin2sinsinCcAa得：32,2ca所以3sin21AacS ABC.12 分法 2：因为0cos2 aCb，所以022222aabcbab，即2222bca由23)3(412)2(2cos22222222bccbbcbccbbcacbA当且仅当bc3时等号成立，则角 A最大值为 6.9 分因为2b，32c,所
15、以3sin21AacS ABC.12 分20.解析:(1)11()()21afxxax，1(1)(1),0,241aafaa1141aa 解得3a；(1)2f,切点为1,2,斜率为 34,所以切线35:.44l yx.4 分(2)法 1:因为对任意0,2x，0f x 恒成立,所以(1)0(2)0ff，解得120a.6 分又因为当120a时,1 0ax在0,2x上恒成立，所以 0f x 在0,2 上恒成立等价于111a xax在0,2上恒成立，所以只需 1()11maxa xax，设1()1a xg xax则1()2(1)1axg xaxxax，0a()f x在(0,1)上递减,在(1,2)上递
16、增,第 4 页 共 6 页 max max0,2g xgg，由 g(0)1,g(2)1,解得12,0a.12 分法 2:因为0,2x，0f x 恒成立,所以 10f且 20f解得120a,由1()01(1)1122 1aafxaxxa xxaxax，因为120a,所以12,1)12a，所以 f x 在1(0,1a上单调递减,在1,21a上单调递增,0,2maxf xmax ff，要使 0f x 恒成立,只需 0maxf x,即(1)0(2)0ff,所以120a.法 3:因 为0,2x，0f x 恒 成 立 恒 成 立，所 以 10f且 20f,解 得120a,因 为 011f xa xax 恒
17、 成 立，由0,2x可知,10a x,两边平方整理得2 20aa xa x,即120ax对任意的0,2x恒成立,因为10a ,所以当2x 时,min1 2222axa，由2220a 解得120a.21.解（1）因为 2ln1xafxxx 所以 2lng xxfxxxa，0,x则 2xgxx，所以 g x 单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,极小值为 222ln 2ga，无极大值.3 分（2）（i）lnh xxax有两个零点.因为 1axah xxx 当0a 时，0h x，h x 单调递增，不可能有两个零点；当0a 时，令 0h x，得0 xa，h x 单调递减；令 0h x，得 xa，h
18、x 单调递增.所以 minlnh xh aaaa要使 h x 有两个零点，即使 0h a，得 ae，第 5 页 共 6 页又因为 110h，()0h eea，所以 h x 在1,e 存在唯一一个零点，且 ae，2ee0aaha，所以 h x 在,ae e上存在唯一一个零点，符合题意.综上，当 ae时，函数 h x 有两个零点.7 分法二：lnh xxax有两个零点.等价于1x 时，lnxax有两个实根，（1）令 lnxF xx，2ln1lnxFxx当0,1x时，0Fx，F x 单调递减，且 0F x；当1,xe时，0Fx，F x 单调递减；当,xe 时，0Fx，F x 单调递增；F ee，1x
19、，F x ，x ，F x .要使（1）有两个实数根，即使 aF ee，综上，当 ae时，函数 h x 有两个零点.（ii）elnelne0 xxxxaxxxaxx有两个实根，令extx，lng ttat 有两个零点 1t，2t，111extx，222extx所以1122ln0ln0tattat，所以 2121lnlnatttt（1）2121lnlnatttt（2）要证22121eexxxx，只需证 12212xxx ex ee，即证1212lnln2xxx ex e，所以只需证12lnln2tt.由（1）（2）可得221121212122111 lnlnlnlnln1ttttttttttttt
20、t，只需证2211211 ln21tttttt.设120tt，令21ttt，则1t，所以只需证1ln21ttt，即证4ln201tt令 4ln21th tt，1t，则 222114011th tttt t，10h th，即当1t 时，4ln201tt成立.第 6 页 共 6 页所以12lnln2tt，即 12212xxx ex ee，即22121eexxxx.12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 解：（1）点 A 是曲线221:(2)4Cxy上的动点，根据222cossinxyxy，转换为极坐
21、标方程为4cos，由于点 B 满足 2OBOA的点 B 的轨迹是2C 所以(2,)A ，则2C 的极坐标方程为2cos.5 分（2）直线 l 的参数方程是1cos(sinxttyt 为参数），点 P 的直角坐标是(1,0)，若直线l 与曲线2C 交于 M，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos，转换为直角坐标方程为22(1)1xy，所以将直线的参数方程代入22(1)1xy，得 到22(1cos)(sin)2(1cos)ttt ，化 简 得：24cos30tt，所 以124costt，1 23t t，当线段|PM，|MN，|PN 成等比数列时，则2|MNPMPN，整理得：21212()|tttt，故2121 2()5|ttt t，整理得15cos4 .10 分选修 4-5：不等式选讲23.解：21)()21(21xxxxxf，f（x）min|，对任意 xR，恒有 212121xf，解得1 或0，又0，故1，所以的最小值为 1.5 分（2）由（1）得 t1，m+2nmn，112 nm，9542225)12)(2(2mnnmnmnmnm，当且仅当mnnm22，即 mn3 时取等号，2m+n 的最小值为 9.10 分
