1、专题强化练4形如“(a+b)n(c+d)m”及“(a+b+c)n”问题一、选择题1.(2020天津四中高三下线上教学质量检测,)若(1-2x)(1+ax)4的展开式中x2的系数为78,则整数a的值为()A.-3B.-2C.2D.32.(2019北京大学附属中学高三下第二次诊断性考试,)(x2-2x-3)(x+2)5的展开式中,含x5项的系数为()A.-23B.17C.20D.633.(2020山西大同第一中学高三下月考,)已知(x+3y)(ax-y)4的展开式中含x2y3的项的系数为14,则正实数a的值为()A.97B.79C.2D.14.(2020安徽六安第一中学高三下模拟,)已知数列an满
2、足an+1=3an,a1=1,a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+an+1Cnn=64,则(x-1)2x-1x2n的展开式中的常数项为()A.-160B.-80C.80D.1605.(2020山东烟台第一中学高三上第一次联考,)若(1-ax+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则实数a的值为()A.-2B.2C.3D.4二、填空题6.(2020湖南岳阳第一中学高三模拟,)(a-2b)5(1-c)的展开式中,a3b2c的系数是.7.(2020四川成都石室中学高三适应性考试,)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,x2y3的系数为.8.()(1-a+b)5的展开式中,含ab2项的系数为.(用数字
3、作答)9.(2020海南三亚第一中学高三上期末,)(x+2)(x+1)6的展开式中,含x3项的系数为.10.(2019山东济南高二下期末,)已知(1+x+x2)x+1x3n的展开式中没有常数项,nN*,且2n7,则n=.答案全解全析专题强化练4形如“(a+b)n(c+d)m”及“(a+b+c)n”问题一、选择题1.A(1+ax)4的通项为Tr+1=C4rarxr,由题意得1C42a2+(-2)C41a=78,即3a2-4a-39=0,解得a=-3或a=133,因为a为整数,所以a=-3,故选A.2.B(x+2)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r2r,则(x2-2x-3)选(-3),(x
4、+2)5选x5,该项为(-3)C5020x5=-3x5;(x2-2x-3)选(-2x),(x+2)5选x4,该项为(-2)C5121x5=-20x5;(x2-2x-3)选x2,则(x+2)5选x3,该项为1C5222x5=40x5.综上所述,含x5项的系数为-3-20+40=17.故选B.3.D(ax-y)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(ax)4-r(-y)r=(-1)ra4-rC4rx4-ryr.(x+3y)(ax-y)4的展开式中含x2y3的项的系数为(-1)3aC43+3(-1)2a2C42=-4a+18a2=14,解得a=1或a=-79,a为正实数,a=1.故选D.4.D因为an+
5、1=3an,a1=1,所以数列an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,所以a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+an+1Cnn=30Cn0+31Cn1+32Cn2+3nCnn=(1+3)n=4n=64,解得n=3,所以(x-1)2x-1x2n=(x-1)2x-1x6.2x-1x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r-1xr=(-1)rC6r26-rx6-2r,令6-2r=-1,得r=72(舍去),令6-2r=0,得r=3,则T4=(-1)3C6323=-160,所以(x-1)2x-1x6的展开式中的常数项为-1(-160)=160.故选D.5.B(1-ax+x2)4=1
6、+(x2-ax)4,易得1+(x2-ax)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(x2-ax)r=C4rCrt(x2)r-t(-ax)t=C4rCrt(-a)tx2r-t,其中r=0,1,2,3,4,t=0,1,r,令2r-t=5,得t=1,r=3或t=3,r=4.当t=1,r=3时,x5的系数为C43C31(-a)=-12a,当t=3,r=4时,x5的系数为C44C43(-a)3=-4a3,因为x5的系数为-56,所以-12a-4a3=-56,即a3+3a-14=0,即(a-2)(a2+2a+7)=0,所以a=2.故选B.二、填空题6.答案-40解析(a-2b)5(1-c)=(a-2b)5-c(
7、a-2b)5,依题意,只需求-c(a-2b)5中a3b2c的系数即可,易得其系数为-C52(-2)2=-40.故答案为-40.7.答案60解析(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x2y3的项为C62x2C43y3=6524x2y3=60x2y3,所以x2y3的系数为60.8.答案-30解析(1-a+b)5表示5个(1-a+b)的积,要得到含ab2的项,需1个(1-a+b)选-a,2个(1-a+b)选b,其余的2个(1-a+b)选1即可.所以(1-a+b)5的展开式中,含ab2项的系数为C51(-1)C42C22=-30.故答案为-30.9.答案55解析(x+1)6的展开式的通项为Tr+1=C
8、6rx6-r,令6-r=3,得r=3,可得(x+1)6的展开式中x3的系数为C63=20;令6-r=2,解得r=4,可得(x+1)6的展开式中x2的系数为C62=15,所以(x+2)(x+1)6的展开式中含x3项的系数为220+115=55.10.答案5解析由题意知x+1x3n的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,x+1x3n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r1x3r=Cnrxn-4r(0rn),n-4r(0rn)不能取0,-1,-2.若n=4,则n-4r可以为0,若n=3或n=7,则n-4r可以为-1,若n=2或n=6,则n-4r可以为-2,只有当n=5时,n-4r不能取0,-1,-2,故n=5.
