1、高三上学期第三次月考数学试题时间120分钟 分数150一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，.则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用函数定义域的求法化简集合M，进而得到N，再利用交集运算求解.【详解】，.，.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算研究函数定义域的求法，属于基础题.2. 任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可
2、得辐角主值【详解】，所以辐角主值为故选：D3. 已知，为直线，为平面，则下列说法正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】AD【解析】【分析】A可根据线面垂直的性质定理判断；B C D可借助正方体进行判断.【详解】A由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；B选取正方体的上下底面为以及一个侧面为，则，故错误；C选取正方体的上底面的对角线为，下底面为，则不成立，故错误；D选取上下底面为，任意作一个平面平行上底面为，则有 成立，故正确.所以说法正确的有：AD.故选：AD .【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面面垂直的性质定理，以及线面平行和面面平行的性质定
3、理.属于较易题.4. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第行视标边长，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力5.1的视标边长为故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由和与差的余弦公式化
4、简可得，再由二倍角公式求出，由诱导公式即可求出.【详解】由可得，即，即，所以，故选：B.6. 已知函数，若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由导数确定的单调性，由奇偶性变形，利用指数函数和对数函数性质比较自变量的大小后可得函数值大小【详解】，在上是减函数，奇函数，所以，所以，所以，即，故选：D【点睛】思路点睛：本题考查比较函数值的大小，解题方法是利用导数确定函数的单调性，利用奇偶性变形函数值的表示形式，然后由指数函数和对数函数性质比较自变量的大小，从而得函数值的大小7. 已知点，分别是双曲线C： (，)的左右焦点，M是C右支上的一点，与y轴交于点P， 的
5、内切圆在边上的切点为Q，若，则C的离心率为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义、对称性和内切圆的切线性质，结合离心率公式即可得到所求值【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为， 如图所示：则 ， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得，解得， 又，即有， 离心率 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题8. 定义：如果函数在上存在，满足，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据是上
6、“双中值函数”，得到，再对进行求导，根据题意得到在上有两个根，构造函数，转化为函数在上有两个零点，即可求解.【详解】解： 是上“双中值函数”，又，即在上有两个根，令，其对称轴为：，故，解得：.故选B【点睛】方法点睛：本题主要根据是上“双中值函数”，转化为在上有两个根，设出二次函数，根据二次函数的性质，列出条件，即可求解的范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为C. 存在
7、实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切【答案】ABD【解析】【分析】对于A，当时，求出曲线方程和焦距，即可判断；对于B，当时，求出曲线方程，从而可求出的值；对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线，可得的不等式组，解不等式组可得的取值范围，即可判断C；对于D，当时，可求出曲线方程和渐近线方程，圆的圆心和半径，结合直线和圆的位置关系，即可判断D【详解】解：对于A，当时，曲线的方程为，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，焦距为，所以A正确；对于B，当时，曲线的方程为，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，且，则，所以B正确；对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线，则，得，不等式组无解
8、，所以C错误；对于D，当时，曲线的方程为，所以曲线表示焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为，而圆的圆心为，半径为3，则圆心到渐近线的距离为，所以渐近线与圆相切，所以D 正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及直线与圆的位置关系，考查方程思想和计算能力，解题的关键是当给定时，由曲线的方程正确求出的值10. 已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，记的面积为S，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】分析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角
9、形的面积公式即可判断D.【详解】由，可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误； 对于B，,故B正确；对于C，故C错误；对于D，设的高为，即，则面积，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）A. B. C. 1D.
10、 【答案】AD【解析】【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用三角形全等即可求解.【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.12. 已知在矩形中，将矩形沿对角线折成大小为的二
11、面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）A. 四面体的体积的最大值是B. 球心为线段的中点C. 球的表面积随的变化而变化D. 球的表面积为定值【答案】ABD【解析】【分析】由矩形的性质可得球心以及球的半径，当平面平面时，四面体的体积的最大，一一验证可得；【详解】解：如图，当平面平面时，四面体的体积的最大，最大值为，故A正确；由题意得，在四面体内的中点到点、的距离相等，且大小为，所以点为外接球的球心，且球的半径，表面积为定值，故BD正确，C错误；故选：ABD【点睛】本题考查多面体的外接球以及翻折问题，锥体的体积计算，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.
12、 已知两个不相等的平面向量且，则_.【答案】【解析】【详解】，又即，解得又故答案为14. 已知数列满足：，则_.【答案】【解析】【分析】根据递推公式代入即可求解.【详解】解：，当时，即，解得：，当时，即，解得：.故答案为：.15. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点若，则的值为_【答案】4【解析】【详解】设过抛物线：的准线 与 轴交于点 ，与直线 交于 ，过 作 的垂线，垂足为 ，作 于 ，根据相似三角形性质可得是中点，可得，故答案为.16. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为_【答案】1【解析】【详解】解析：因，故由题设可得时，即，则，应填答案1四、解答题：本题共6小题，共70分.解
13、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在三角形中，角、的对边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，的平分线与交于点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理即可求解；（2）先根据得到，再根据平分，得到，进而得到，在中，由正弦定理即可求解.【详解】解：（1）， 由正弦定理得：，即， 即，再根据，得，又，；（2）,，即，又故，即，即，即，又，故,即,故，又平分，故,在中，由正弦定理得：，即，解得：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用正弦定理进行边角的互换，以及三角形内角和为.18. 给出一下两个条件：数列为等比数列，且，数列的
14、首项，且.从上面两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列的通项公式；.（2）设数列满足，求数列的前n项和.【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选条件.，和两式相处可得数列的公比，令，可以求出，即可得的通项公式；若选条件.，利用累加法可以求的通项公式；（2）若选条件.，利用（1）的结果可得，利用裂项相消求和即可，若选条件. 利用（1）的结果可得，也采用裂项相消求和即可.【详解】若选条件.（1）由条件，得，则公比，令，可得，即，所以，从而有.（2）由（1）得，则有，则其前n项和为：.若选条件.（1）令，可得，令，可得，
15、依次类推可得：，将这一系列等式求和可得：.其中，故可得.（2）由（1）得，则有，则其前n项和为：【点睛】本题主要靠查了由递推公式求数列的通项公式，采用累加法考查了裂项相消求和，属于中档题.19. 设，其中为正整数，.当时，函数在单调递增且在不单调.（1）求正整数的值；（2）在函数向右平移个单位得到奇函数；函数在上的最小值为；这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答.已知函数满足_，在锐角中，角，的对边分别为，若，.试问：这样的锐角是否存在，若存在，求角；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）选，锐角不存在，选锐角存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由单调性确定周期性，再确定
16、的范围，从而可得值；（2）选择，由平移及奇函数求得，选，由最小值确定的值，然后由确定关系，确定锐角三角形是否存在，存在时求得角【详解】（1）由题意，即，又，所以，而是正整数，所以时，时，递增，但为最大值，在上不单调，满足题意所以（2）由（1），选，函数向右平移个单位得，是奇函数，则，又，所以，即，所以或，或，又是内角，且，所以，此时不是锐角，因此锐角不存在；选，函数在上的最小值为，由，时，则的最小值只能是，即，即，所以或，或，又是内角，且，所以，此时，因此锐角存在，【点睛】关键点点睛：本题解题关键是由单调性确定周期的范围，或确定对称轴，由此求得值由确定关系时，注意正弦函数的性质，由得出的是或，
17、而不仅仅是20. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，由边长关系得，从而可得平面，即可证明平面平面；（2）由（1）问可知平面，所以以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值【详解】（1）设的中点为，连接，由题意，得， 因为在中，为的中点，所以，因为在中， ，所以 因为，平面，所以平面，平面，所以平面平面 （2）由（1）问可知平面，所以，于是以
18、，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则由得：令，得，即 设平面的法向量为，由得：，令，得，即由图可知，二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及空间向量法在二面角中的应用，考查学生推理论证能力，运算求解能力，属于中档题21. 设函数.（1）当，时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，求、的值.并证明当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】【试题分析】（1）当时，由于，故函数单调递增，最小值为.（2）利用切点和斜率为建立方程组，解方程组求得的值.利用导数证得先证，进一步利用导数证，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由，当时，得
19、.当时，且当时，此时.所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.先证，即，令，则，所以在是增函数.所以，即.再证，即，令，则，时，时，时，.所以在上是减函数，在上是增函数，所以.即，所以.由得，即在上成立.【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于题目给出，并且导函数没有含有，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.22. 在直角坐标系中已知，动点到直线的距离等于，动点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知，过点的动直线与曲线交于，两点，记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）设点根据条件可得化简可得曲线的方程.（2）设，由条件可设直线的方程为与曲线的方程联立，得到，又，将,代入然后可求出其最大值.【详解】（1）设点，则，整理得，即.故动点的轨迹的方程为.（2）设，由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为，联立，整理得，所以，则，故.设，则，则.因为，所以（当且仅当时，等号成立），故，即的最大值为3.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程和椭圆中三角形的面积之和的最大值问题，考查运算能力，属于中档题.
