1、1(2015重庆)如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1.(1)若 PF12 2，PF22 2，求椭圆的标准方程；(2)若 PF1PQ，求椭圆的离心率 e.2(2016四川)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P3，12 在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：MAMBMCMD.3(2016四川)已知椭圆
2、 E：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l：yx3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数，使得 PT2PAPB，并求 的值4(2015江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且右焦点 F 到直线 l：xa2c 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线
3、 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程答案精析圆锥曲线1解(1)由椭圆的定义，有 2aPF1PF2(2 2)(2 2)4，故 a2.设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF2，得 2cF1F2 PF21PF222 222 222 3，即 c 3，从而 b a2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)连结 F1Q，由椭圆的定义，有PF1PF22a，QF1QF22a.从而由 PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由 PF1PQ，PF1PQ，知QF1 2PF1，因此，4a2PF1 2PF1，得PF12(2 2)a.从而 PF22aPF12a2(2 2)
4、a2(21)a.由 PF1PF2，知 PF21PF22F1F22(2c)2，因此 eca PF21PF222a2 22 21296 2 6 3.2(1)解 由已知，a2b，又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点P3，12，故 34b214b21，解得 b21.所以椭圆 E 的方程是x24y21.(2)证明 设直线 l 的方程为 y12xm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组x24y21，y12xm，得 x22mx2m220，方程的判别式为 4m24(2m22)，由 0，即 2m20，解得 2m 2.由得 x1x22m，x1x22m22.所以 M 点坐标为m，m2，直线 OM 方
5、程为 y12x，由方程组x24y21，y12x，得 C 2，22，D2，22.所以 MCMD 52(m 2)52(2m)54(2m2)又 MAMB14AB214(x1x2)2(y1y2)2 516(x1x2)24x1x2 5164m24(2m22)54(2m2)所以 MAMBMCMD.3(1)解 由已知，a 2b，则椭圆 E 的方程为 x22b2y2b21.由方程组 x22b2y2b21，yx3，得 3x212x182b20.方程的判别式为 24(b23)，由 0，得 b23，此时方程的解为 x2，所以椭圆 E 的方程为x26y231，点 T 的坐标为(2,1)(2)证明 由已知可设直线 l的
6、方程为 y12xm(m0)，由方程组y12xm，yx3，可得x22m3，y12m3.所以 P 点坐标为22m3，12m3.PT289m2.设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组x26y231，y12xm，可得3x24mx4m2120.方程的判别式为 16(92m2)，由 0，解得3 22 m3 22.由得 x1x24m3，x1x24m2123.所以 PA22m3 x1212m3 y12 52 22m3 x1，同理 PB 52 22m3 x2.所以 PAPB5422m3 x1 22m3 x25422m3222m3 x1x2|x1x25422m3222m3 4m34
7、m2123109 m2.故存在常数 45，使得 PT2PAPB.4解(1)由题意，得ca 22 且 ca2c 3，解得 a 2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)当 ABx 轴时，AB 2，又 CP3，不合题意当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则 x1,22k2 21k212k2，C 的坐标为2k212k2，k12k2，且AB x2x12y2y12 1k2x2x122 21k212k2.若 k0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与直线 l 平行，不合题意从而 k0，故直线 PC 的方程为yk12k21kx 2k212k2，则 P 点的坐标为2，5k22k12k2，从而 PC23k211k2|k|12k2.因为 PC2AB，所以23k211k2|k|12k24 21k212k2，解得 k1.此时直线 AB 的方程为 yx1 或yx1.
