1、考点规范练63数学归纳法考点规范练A册第44页基础巩固组1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于() A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A.1B.9C.10D.n10,且nN+答案:C解析:210=1 024103.故选C.3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,nN+,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(kN+)时的情况,只需展
2、开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假设n=k(kN+)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.4.用数学归纳法证明1+2+3+3n=9n2+3n2的过程中,由n=k递推到n=k+1时,等式左边增加的项为()A.3k+1B.(3k+1)+(3k+2)C.3k+3D.(3k+1)+(3k+2)+(3k+3)答案:D解析:n=k时,左边=1+2+3+3k,n=k+1时,左边=1+2+3+3k+(3
3、k+1)+(3k+2)+(3k+3).比较两式,从而等式左边应添加的式子是(3k+1)+(3k+2)+(3k+3),故选D.5.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2答案:C解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(kN+)命题为真时,进而需证当n=时,命题亦真.答案:2k+1解析:因
4、为n为正奇数,所以与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1.7.设S1=12,S2=12+22+12,Sn=12+22+32+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12(nN+),用数学归纳法证明Sn=n(2n2+1)3(nN+)时,第二步从“k”到“k+1”应添加的项为.答案:(k+1)2+k2解析:由S1,S2,Sn可以发现由n=k到n=k+1时,中间增加了两项(k+1)2+k2(n,kN+).8.(2015江西九江模拟)已知f(n)=1+12+13+1n(nN+),经计算得f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,则其一般结论为.答案:f(2n)n+22(n2,nN+)解析:
5、因为f(22)42,f(23)52,f(24)62,f(25)72,所以当n2时,有f(2n)n+22.故填f(2n)n+22(n2,nN+).9.由下列不等式:112,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.解:一般结论:1+12+13+12n-1n2(nN+),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(kN+)时猜想成立,即1+12+13+12k-1k2.当n=k+1时,1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1k2+12k+12k+1+12k+1-1k2+12k+1+12k+1+1
6、2k+1=k2+2k2k+1=k+12.当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知猜想对任何nN+都成立.能力提升组10.(2015陕西延安模拟)利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-10,nN+.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解:当n=1时,由已知得a1=a12+1a1-1,a12+2a1-2=0.a1=3-1(舍去负根).当n=2时,由已知得a1+a2=a22+1a2-1,将a1=3-1代入并整理得a22+23a2-2=0.a2=5-3(舍去负根).同理可得a3=7-5.猜想an=2n+1-2n-1(nN+).(2)证明:
7、由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.假设当n=k(k3,kN+)时,通项公式成立,即ak=2k+1-2k-1.由于ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-ak2-1ak,将ak=2k+1-2k-1代入上式,整理得ak+12+22k+1ak+1-2=0,ak+1=2k+3-2k+1,即n=k+1时,通项公式成立.由可知对所有nN+,an=2n+1-2n-1都成立.导学号9295059814.(2015江西景德镇模拟)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+x.(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由.(2)设数列an(nN+)满足a1=a(a0),f(an
8、+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的nN+,都有anM.解:(1)由h(x)=x3-x-x知,x0,+),而h(0)=0,且h(1)=-10,则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零点.由h(x)=x(x2-1-x-12),记(x)=x2-1-x-12,则(x)=2x+12x-32,当x(0,+)时,(x)0,从而(x)在(0,+)上单调递增,则(x)在(0,+)内至多只有一个零点.因此h(x)在(0,+)内也至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点.(2)记h(x)的正零点为x0,即当ax0时,由a1=a,即a1x0
9、.而a23=a1+a1x0+x0=x03,因此a2x0.由此猜测:anx0.下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1x0显然成立.假设当n=k(k1,kN+)时,akx0成立,则当n=k+1时,由ak+13=ak+akx0+x0=x03知,ak+1x0.因此,当n=k+1时,ak+1x0成立.故对任意的nN+,anx0成立.当ax0时,由(1)知,h(x)在(x0,+)上单调递增.则h(a)h(x0)=0,即a3a+a,从而a23=a1+a1=a+aa3,即a2a.由此猜测:ana.下面用数学归纳法证明.()当n=1时,a1a显然成立.()假设当n=k(k1,kN+)时,aka成立,则当n=k+1时,由ak+13=ak+aka+aa3知,ak+1a.因此,当n=k+1时,ak+1a成立.故对任意的nN+,ana成立.综上所述,存在常数M=maxx0,a,使得对于任意的nN+,都有anM.导学号929505993
