1、6.3等比数列必备知识预案自诊知识梳理1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比都等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q表示(显然q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式为an=;通项公式的推广an=amqn-m.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.设数列an是等比数列,Sn是
2、其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=as2,其中m,n,p,q,s,rN*.(2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*).(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban,panqbn和panqbn也是等比数列.(4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.(5)若a1a2an=Tn,则Tn,T2nTn,T3nT2n,成等比数列.(6)若数列an的项数为2n,则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S奇-a1S偶=q.(7)当公比q-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.考点自
3、诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.()(5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-an)1-a.()2.已知数列an是等比数列,其前n项和为Sn,S2=3a2,则a3+a4a1+a2=()A.14B.12C.2D.43.(2020全国2,理6)数列an中,a
4、1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.54.若数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=.关键能力学案突破考点等比数列的基本运算【例1】(1)已知数列an是等比数列,若a2=1,a5=18,则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=()A.25532B.8532C.2552D.853(2)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=.解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列
5、方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类讨论再求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或a11-q当成整体进行求解.对点训练1(1)(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2(2)(2019全国1,理14)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.考点等比数列的判定与证明【例2】已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+
6、1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列;(2)求an和bn的通项公式.解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(1)定义法,证明anan-1=q(n2,q为常数);(2)等比中项法,证明an2=an-1an+1(anan-1an+10,n2,nN*);(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.对点训练2设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明:数列
7、bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.考点等比数列的性质及应用(多考向探究)考向1等比数列项的性质及应用【例3】(1)在等比数列an中,a1a2=1,a3a6=9,则a2a4=()A.3B.3C.3D.3(2)(多选)设an是等比数列,则下列结论中错误的是()A.若a1=1,a5=4,则a3=-2B.若a1+a30,则a2+a40C.若a2a1,则a3a2D.若a2a10,则a1+a32a2解题心得在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质减少运算量,提高解题速度.注意以下常用性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:ap2=aman(m+
8、n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).对点训练3(1)(2020河南洛阳第一次联考)在等比数列an中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,则a2a16a9的值为()A.-2+22B.-2C.2D.-2或2(2)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.考向2等比数列前n项和的性质及应用【例4】(1)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.(2)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=.解题心得1.在等比数列an中,设公比为q,所有
9、奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质:(1)若共有2n项,则S偶S奇=q;(2)若共有2n+1项,S奇-a1S偶=q.2.在等比数列an中,Sk表示它的前k项和.当q-1时,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,也成等比数列,公比为qk.对点训练4(1)在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.170(2)(多选)下列命题中正确的是()A.若数列an是等差数列,且am+an=as+at(m,n,s,tN*),则m+n=s+tB.若Sn是等差数列an的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列C.若Sn是等比
10、数列an的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列D.若Sn是等比数列an的前n项的和,且Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常数,nN*),则A+B为零考点等差、等比数列的综合问题【例5】(1)若公比为2的等比数列an的前n项和为Sn,且a2,9,a5成等差数列,则S10=()A.245-1B.45-1C.246-1D.46-1(2)已知在等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=()A.26B.52C.78D.104解题心得等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方
11、程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程.求解过程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类讨论.(2)一定条件下,等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即若an为等差数列,则aan(a0且a1)为等比数列;若an为正项等比数列,则logaan(a0且a1)为等差数列.对点训练5(1)(2020山东烟台高三模考)在等比数列an中,首项a1=1,且4a3,2a4,a5成等差数列,若数列an的前n项之积为Tn,则T9=()A.29-1B.236C.210-1D.245(2)已知Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2
12、+a5=4,则a8=.6.3等比数列必备知识预案自诊知识梳理1.第2项同一个公比2.a1qn-1(a10,q0)3.a,G,bG2=ab考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.A由题意得,S2=a2+a1=3a2,a2=12a1,公比q=12,则a3+a4a1+a2=q2=14,故选A.3.Cam+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.k+11=15,k+1=5,解
13、得k=4.4.4n-1因为数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.关键能力学案突破例1(1)B(2)2n-1(1)已知数列an是等比数列,且a2=1,a5=18,可得a2=a1q=1,a5=a1q4=18,解得a1=2,q=12,所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=a12q+a12q3+a12q5+a12q7=2212+123+125+127=412+18+132+1128=8532,故选B.(2)a1+a3=52,a2+a4=54,a1+a1q2=52,a1q+a1q3=54,由除
14、以可得1+q2q+q3=2,解得q=12,代入得a1=2,an=212n-1=42n,Sn=21-(12)n1-12=41-12n,Snan=4(1-12n)42n=2n-1.对点训练1(1)C(2)1213(1)设等比数列an的公比为q(q0),则a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故选C.(2)设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.a42=a6,19q6=13q5.q0,q=3.S5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.例2(1)证明因为4an+1=
15、3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,两式相加得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,将4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4两式相减得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.所以an-bn是公差为2的等差数列.又因为a1-b1=1,所以an-bn=2n-1,所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn
16、)=12n-n+12.对点训练2(1)证明由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2.a2=5,b1=a2-2a1=3.又Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2(n2),-,得an+1=4an-4an-1(n2),an+1-2an=2(an-2an-1)(n2).bn=an+1-2an,bn=2bn-1(n2),故bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知bn=an+1-2an=32n-1,an+12n+1-an2n=34,故an2n是首项为12,公差为34的等差数列.an2n=12+(n-1)34=3n-14,故an=(3n-1)2n-2.例3(1)
17、A(2)ABC(1)设等比数列an的公比为q,因为a1a2=a12q=10,所以q0,又因为a3a6=9,所以a2a4=a1a3a2a6=9=3,故选A.(2)由等比数列的性质可得a32=a1a5=4,由于奇数项的符号相同,可得a3=2,故A不正确;a1+a30,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,故B不正确;若a2a1,则a1(q-1)0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正负由q确定,故C不正确;若a2a10,则a1qa10,可得a10,q1,所以1+q22q,则a1(1+q2)2a1q,即a1+a32a2,故D正确.故选ABC.对点训练3(1)B(2)5(1)设等比数列an
18、的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,所以a3a15=a92=2,a3+a15=-6,所以a30,a150,q=2,a1(1+q)=a1(1+2)=2,a1=23,S8=23(28-1)2-1=170.(2)对于A,取数列an为常数列,对任意m,n,s,tN*,都有am+an=as+at,故A错误;对于B,设等差数列an的首项为a1,公差为d,则Sn=a1+a2+an,S2n-Sn=an+1+an+2+a2n=a1+nd+a2+nd+an+nd=Sn+n2d,同理,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n=an+1+an+2+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d,2
19、(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列,故B正确;对于C,设an=(-1)n,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,此数列不是等比数列,故C错误;对于D,an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)=Aqn-Aqn-1=A(q-1)qn-1,此数列为首项是A(q-1),公比为q的等比数列,则Sn=A(q-1)(1-qn)1-q,Sn=Aqn-A,A+B=0,故D正确.故选BD.例5(1)B(2)B(1)由题意,公比q为2的等比数列an的前n项和为Sn,且a2,9,a5成等差数列,可得18=a2+a5=2a1+16a1,解得a1
20、=1,则S10=a1(1-210)1-2=210-1=45-1.故选B.(2)设等比数列an的公比为q,a3a11=4a7,a72=4a70,解得a7=4,数列bn是等差数列,且b7=a7.S13=13(b1+b13)2=13b7=13a7=52,故选B.对点训练5(1)B(2)2(1)设等比数列an公比为q,因为4a3,2a4,a5成等差数列,所以4a4=4a3+a5,即4q=4+q2,解得q=2.故an=2n-1.所以T9=a1a2a3a9=20212228=21+2+3+8=236.故选B.(2)因为S3,S9,S6成等差数列,所以公比q1,2(1-q9)1-q=1-q31-q+1-q61-q,整理得2q6=1+q3,所以q3=-12,故a21-12=4,解得a2=8,故a8=814=2.
