1、第七章 第7节一、选择题1已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是( )AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析逐一验证法，对于选项A，(1,4,1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内答案A2(2015辽宁大连一模)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )A. B.C. D.解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1
2、)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B3在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )A. B.C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则C1(，1,0)、A(0,0,2)，(，1，2)，平面BB1C1C的一个法向量为n(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.答案C4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为( )A平行 B异面C垂直 D以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z
3、轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.答案C5如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上且AM平面BDE.则M点的坐标为() A(1,1,1)B.C. D.解析M在EF上，设MEx，M，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，(，0，1)，(0，1)，.设平面BDE的法向量n(a，b，c)，由得abc.故可取一个法向量n(1,
4、1，)n0，x1，M.答案C6(2015昆明模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为( )A.B.C. D.解析BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，求得平面AMC的一个法向量为n(1，2,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，c
5、osn，.二面角BACM的余弦值为.答案A二、填空题7如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案608如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析正方体棱长为a，A1MAN，()
6、.又是平面B1BCC1的法向量，0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.答案平行9设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_解析如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.答案三、解答题10(2014山东高考)如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M
7、平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又M是AB的中点，所以CDMA且CDMA.连接AD1.因为在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CDC1D1，CDC1D1，所以C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2) 解：法一连接AC，MC.由(1)知，CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，所以BCADMC.由题意ABCDA
8、B60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.法二由(1)知，平面D1C1M平面ABCDAB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC6
9、0，可得CN，所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.11(2015山东潍坊一模)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围(1)证明在梯形ABCD中，因为ABCD，所以ADCDCB1，ABC60，所以AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，所以ACB90，即BCAC.因为平面AC
10、FE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.(2)解分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系令FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，所以(，1,0)，(，1,1)设n1(x，y，z)为平面MAB的一个法向量由n10，n10联立得取x1，则n1(1，)是平面MAB的一个法向量因为n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，所以cos .因为0，所以当0时，cos 有最小值，最小值为；当时，cos 有最大值，最大值为.所以cos .12(2015陕西榆林4月模拟)如图，E是矩形A
11、BCD中AD边上的点，F为CD边的中点，ABAEAD，现将ABE沿BE边折至PBE的位置，且平面PBE平面BCDE.(1)求证：平面PBE平面PEF；(2)求二面角EPFC的大小解析(1)证明EFBE.平面PBE平面PEF.(2)以D为原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向，平面BCDE向上的法线方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标系设AB2，AD3，则E(0，1,0)，P(1，2，)，F(1,0,0)，C(2,0,0)，(1，1，)，(1，2，)，(1,1,0)，(1,0,0)，设平面PEF的法向量为n1(x，y，z)，平面PFC的法向量为n2(p，q，r)，由和解得n1(1，1，)，n2(0,1，)，|cosn1，n2|，综上，二面角EPFC的大小为150.
