1、课时活页作业（六十二）基础训练组1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上( )Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，左端123k2.当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.答案D2(2016岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取( )A7B8C9D10解析1，整理得2n128，解得n7，所以初始值至少应取8. 答案B3如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是( )A
2、p(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立解析由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立答案B4对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时， (k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_解析因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有12k2k12k1项答案2k19(2016绵阳一模)已知数列xn满足x1
3、，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和(2)知命题成立10(2016长沙模拟)设数列an满足a13，an1a2nan2(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明(1)解：a2a2
4、a125，a3a22a227，a4a23a329，猜想an2n1(nN*)(2)证明：Snn22n(nN*)，使得Snn22n.当n6时，2664,622648,6448，命题成立假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由可得，对于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立能力提升组11在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )A. B.C. D.解析由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.12利用数学归纳法证明“(
5、n1)(n2) (nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是( )A2k1 B2(2k1)C. D.解析当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2) (kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)13(2016南宁模拟)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为( )A18 B36 C48 D54解析由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n1时，可知猜想成立
6、假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时， f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.答案B14设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，nN*)解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)
7、f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案4n2n215已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上16设数列an满足an1anan1(nN*)(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明：对所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(kN*)时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，都有ann2.
