1、第二节空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l三者关系S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31正四面体的表面积
2、与体积棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内a，外接球半径R外a.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内
3、接正方体的边长为a，则Ra.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A.B.C16D24B设球的半径为R，由题意得4R216，解得R2，所以这个球的体积为VR3，故选B.2已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D. cmB设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2rl，得l2r.则S表r2rlr2r2r3r212.解得r2(cm)，故选B.3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A6 B3 C2 D3B由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该
4、侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以几何体的体积VSh33.4如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 147设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.考点1空间几何体的表面积求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积先求各个面的面积，再相加即可求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积时通常将所给
5、几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48B48C482 D482(2)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10(1)A(2)B(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2224251221248，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所
6、得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在，导致计算错误1.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B12C2 D2C由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中ABADCBCD，BD2，且平面ABD平面CBD.所以ABD与CBD都是等腰直角三角形，而ABC与CAD都是边长是的等边三角形所以表面积是2()222，故选C.2(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81B由
7、三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.考点2空间几何体的体积(多维探究)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换直接法求体积(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1
8、 D.3(2)(2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为 (1)A(2)(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的，如图，三棱锥的高为3，底面ABC中，AB2，OC1，ABOC.故其体积V1232131.故选A.(2)四棱锥A1BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S1，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即hA1C1，所以四棱锥的体积V.直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量教师备选例题某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A4 B2C
9、. DB由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为，由tan ，得，故底面面积为22，则该几何体的体积为32.割补法求体积(1)一题多解(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36(2)一题多解如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.(1)B(2)A(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一
10、个圆柱被截去上面虚线部分所得将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.法二：(估值法)由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG，取AD的中点M，则MG，所以SAGD1，所以V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱
11、锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥所以V122.解答本例T(1)中，也可将两个相同的几何体对接为圆柱，圆柱体积的一半即为所求等体积法求体积(2019武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥ABC1M的体积VABC1M()A.B.C.D.CVABC1MVC1ABMSABMC1CABADC1C，故选C.使用等体积法求体积时，一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上教师备选例题如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C
12、. D.A三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.1.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.1188由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥46312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积
13、为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)2某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的体积为 根据几何体的三视图，知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥，如图所示：底面ABCD是矩形，AB2，AD1，EF平行于底面，且EF1.过点E作EMAB，垂足为点M，过点E作ENDC，垂足为点N，连接MN.同理作FM1，FN1，M1N1.则AM，EM1，V2VEAMNDVEMNFM1N1211.考点3球与空间几何体的切、接问题空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切
14、问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解外接球(1)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24 D54(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C
15、. D3(1)B(2)C(1)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.因为AB3，AC4，ABAC，所以BC5.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA，故选C.母题探究 本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？”解依题意，得该
16、正四棱锥底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直，因此直三棱柱可补形为长方体，从而其外接球的直径为长方体的体对角线长教师备选例题1点A、B、C、D在同一球面上，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，AD2AB6，则该球的体积为()A32B48C64 D16A由题意知，球心O到ABC的中心O的距离为3，即OOAD3，如图所示，AO3，OA2，V球(2)332.2若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积解在底面正六边形ABC
17、DEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE2OE2DE，BE，在RtBEE1中，BE12，2R2，则R，球的体积V球R34，球的表面积S球4R212.内切球(1)(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 (2)已知正三棱锥SABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为 (1)(2)(1)设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.(2)过顶点S作SO平面ABC，则SO2.设正三棱锥SABC的底面边长为a，则底面积
18、为a2，即a2.连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，SD.设正三棱锥SABC的内切球的半径为r，则2r，解得r.内切球的表面积S4r2.三棱锥内切球球心位置不易确定，一般用等体积法求解，如本例T(2)求圆锥内切球的半径，可先作出轴截面利用等面积法求解1.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为()A8 B4(2)2C4(2)2 D.B作出圆锥截面图如图，母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥底面半径与高均为.设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得2(222)r，r2.该圆锥内切球的表面积为4(2)24(2)2，故选B.2中国古代数学
19、经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形， AD2，ED1, 若鳖臑PADE的外接球的体积为，则阳马PABCD的外接球的表面积等于()A15B16 C17D18C由题意，在三棱锥PADE(鳖臑)中，EDDA，PA平面ABCE，所以其外接球的直径2rPE.设PAh，则2r，所以其外接球的体积V，解得h3.设四棱锥PABCD(阳马)的外接球半径为R，则2RPC，所以该球的表面积S4R217.故选C.课外素养提
20、升直观想象巧解球的切、接问题球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键外接球问题常用结论(1)简单多面体外接球的球心的结论结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点(2)构造正方体或长方体确定球心(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心【例1】(2019武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，平
21、面PAD平面ABCD，PAPDAB2，则球O的表面积为()A.B.C.D.D令PAD所在圆的圆心为O1，PAD为正三角形，AD2，则圆O1的半径r，平面PAD底面ABCD，AB2，OO1AB1，球O的半径R，球O的表面积4R2，故选D.评析求出PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积【素养提升练习】1(2019广州模拟)三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A23 B. C64 D.D如图，设O为正PAC的中心，D为RtABC斜边的中点，H为AC中点由平面PAC平面ABC.则OH平面ABC.
22、作OOHD，ODOH，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又OPPH2，OODHAB2.R2OP2OP2OO24.故几何体外接球的表面积S4R2.【例2】(2019开封模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC，AA1平面ABC，则该三棱柱的外接球的体积为()A40 B40 C. D.D由题意可知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC，AA12，底面三角形ABC的外接圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：.三棱柱的外接球的体积为V()3，故选D.评析由已知求出底面ABC的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点
23、的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的体积【素养提升练习】2已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为()A21 B42 C84 D84C如图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心，正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，AM2，OM3，球半径ROA，该棱柱外接球的表面积为S4()284，故选C.内切球问题常用结论(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合【例3】体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 6设球的半径为R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h2.设底面边长为a，则a1，所以a2.所以V(2)226.评析球与正三棱柱的两个底面相切，可求球的直径，球与正三棱柱的三个侧面相切，相当于正三棱柱的底面三角形有内切圆【素养提升练习】3若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则 .设正四面体的棱长为a，则S1a2.正四面体的高ha，体积Vaa3.设正四面体的内切球半径为r，则a2ra3，解得ra，则内切球表面积S24r2，a2.
