1、第一章导数及其应用测试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A(cos x)sin xB(2x2)42xC(ex)xex1 D(lgx)解析：(cos x)sin x，(2x2)4x，(ex)ex，(lgx)，A、B、C选项均不正确，D选项正确，故选D.答案：D2已知物体的运动方程是st44t316t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A0秒、2秒或4秒 B0秒、2秒或16秒C2
2、秒、8秒或16秒 D0秒、4秒或8秒解析：st312t232tt(t212t32)t(t4)(t8)，可得t0，或t4，或t8，故选D.答案：D3曲线y(x1)ex(e为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cyexe Dyexe解析：由y(x1)ex，得yxex，曲线在点(1,0)处切线的斜率ky|x1e，切线方程为ye(x1)，即yexe，故选D.答案：D4若两曲线yx2与ycx3(c0)围成的图形面积是，则c()A1 B.C. D2解析：由得两曲线交于点O(0,0)和点A，两曲线yx2与ycx3(c0)围成的图形面积S (x2cx3)dxc，解得c，故选B.答
3、案：B5函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A(3,1) B(0,1)C(1,3) D(0,3)解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.由f(x)0，得0x0)的极大值点和极小值点都在区间(1,1)内，则实数a的取值范围是()A(0,2 B(0,2)C，2) D(，2)解析：由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1,1)内因为f(x)3x22ax1，所以根据导函数图象可得又a0，解得ag(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)解析：令h(x)f(x)g(x)，xa，b，f(x)g(x)，h(x)f(x)g(x)0，h(x)在区间
4、a，b上单调递增，当ax时，h(a)h(x)，即f(a)g(a)g(x)f(a)，故选C.答案：C10已知函数f(x)满足f(0)0，导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A. B.C2 D.解析：由f(x)的图象知，f(x)2x2，设f(x)x22xc，由f(0)0知，c0，所以f(x)x22x，由x22x0得x0或x2.故所求面积.答案：B11若函数f(x)ex(sin xa)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是()A，) B(1，)C1，) D(，)解析：f(x)ex(sin xa)excos xex(sin xcos xa)，函数f(x)ex(
5、sin xa)在区间上单调递增，且ex0，sin xcos xa0，即a(sin xcos x)sin在上恒成立当x时，x，sin，sin，1)a1，即实数a的取值范围是1，)，故选C.答案：C12已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围为()A(1,2) B.C. D(2,1)解析：因为f(x)是奇函数，所以不等式xf(x)f(x)等价于xf(x)f(x)，即xf(x)f(x)0，即F(x)F(2x1)等价于F(3)F(|2x1|)，即3|2x1|，解得1x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800
6、.当0x200时，y200时，y0，所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：80015由曲线y2x，直线yx2所围成的封闭图形的面积为_解析：由得或根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积.答案：16若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是_解析：令f(x)x33xm，则f(x)3x233(x1)(x1)显然，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x1时，f(x)0，f(x)单调递减所以当x1时，f(x)取极大值f(1)m2；当x1时，f(x)取极小值f(1)m2.而f(0)m，f(2)m2，f(0)0.(1)若f(x)在x1处取得极值，求
7、a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解析：(1)f(x)，因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即0，解得a1.(2)由(1)知f(x)，因为x0，a0，所以ax10.当a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为0，)当0a0解得x，由f(x)0解得x ，所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.综上可知，当a2时，f(x)的单调增区间为0，)；当0a2时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(3)当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1，当0a2时，由(2)知，f(x)在x处取得最小值，最小值为f1时，在区间
8、(0,1)上，y0，函数在(0,1)上单调递增；在区间(1，a)上，y1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a1时，广告费用投入a万元，厂商的利润最大20(12分)已知F(x)1t(t4)dt，x(1，)(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在1,5上的最值解析：F(x)x32x2x32x2(x1)(1)F(x)x24x，由F(x)0，即x24x0，得1x4；由F(x)0，即x24x0，得0x0，证明：当0xa时，f(ax)0.解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，由已知，得f(x)x1a.若a0，则f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递增若a0，则令f(x)0，得xa.
9、当0xa时，f(x)a时，f(x)0.此时f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增(2)令g(x)f(ax)f(ax)，则g(x)(ax)2(1a)(ax)aln(ax)2xaln(ax)aln(ax)所以g(x)2.当0xa时，g(x)0，所以g(x)在(0，a)上是减函数而g(0)0，所以g(x)g(0)0.故当0xa时，f(ax)0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)0.不妨设0x1x2，则0x1ax2，所以0ax1a.由(2)得f(2ax1)2ax1，于是a.由(1)知，f0.
