1、关于线线、线面及面面平行的问题典型例题：例1. （2012年四川省文5分）下列命题正确的是【 】A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C。【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两
2、平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确。故选C。例2. （2012年浙江省文5分）设是直线，是两个不同的平面【 】A. 若，则a B. 若，则C. 若，则 D. 若, ，则【答案】B。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。【解析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：A，若，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故B正确；C，若，则可能在平面内，排除C；D，若, ，则可能与平行，相交，排除D。故选 B。例3. （2012年山东省文12分）如图，几何体EABCD是
3、四棱锥，ABD为正三角形，CB=CD，ECBD.()求证：BE=DE；()若BCD=1200，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.【答案】解：()证明：取BD中点为O，连接OC，OE，BC=CD，COBD，又ECBD，COEC=C，BD平面OCE.。又OE平面OCE.，BDOE，即OE是BD的垂直平分线。BE=DE。()取AB中点N，连接MN，DN，M是AE的中点，MNBE。ABD是等边三角形，DNAB，ABD60。BCD120，BC=CD，CBD30。ABC60+3090，即BCAB。NDBC。又MNND=N，BEBC=B，平面MND平面BEC。又DM平面MND，DM平面BEC。【考点
4、】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质。【解析】()要证BE=DE，只要证点E是BD垂直平分线上的点即可。故取BD中点为O，连接OC，OE，由已知证明BDOE即可。 ()要证DM平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N，连接MN，DN，证明平面MND平面BEC即可。例4. （2012年福建省理13分） 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点（I）求证：B1EAD1；（II）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（III）若二面角AB1EA1的大小为3
5、0，求AB的长【答案】解：（I）如图，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)。1(0,1,1)，(a,0,1)，。011(1)10，B1EAD1。（II）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)。又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n。要使DP平面B1AE，只要n，即az00，解得z0。又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP。（III）连接A1D
6、，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D。B1CA1D，AD1B1C。又由（I）知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1。是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)。设与n所成的角为，则cos。二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即，解得2，即AB的长为2。【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。【解析】（）由题意及所给的图形，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设ABa，给出图形中各点的坐标，可求出向量1和 的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直。（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点P满足题意。（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30建立关于的方程，解出的值即可得出AB的长。
