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2019-2020学年数学选修1-1人教B版新素养同步讲义:第二章2-1-2.1-2 椭圆的几何性质 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、21.2椭圆的几何性质1.了解研究椭圆几何性质的思想方法2.掌握椭圆的简单几何性质3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响 学生用书P251椭圆的简单几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形范围axa,bybbxb,aya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:(0,0)焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c顶点A1(a,0),A2(a,0);B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a);B1(b,0),B2(b,0)轴长长轴|A1A2|2a,短轴|B1B2|2b离心率e(0,1)2.离心率对椭圆扁平程度的影响由a2b2c2,a0,b0得,故

2、当椭圆的离心率越趋近于1,则椭圆越扁;当椭圆的离心率越趋近于0,则椭圆越趋近于圆1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac.()(3)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()答案:(1)(2)(3)2椭圆6x2y26的长轴端点坐标为()A(1,0),(1,0)B(6,0),(6,0)C(,0)(,0)D(0,),(0,)答案:D3椭圆x24y21的离心率为()A.BC. D.答案:A4设P(m,n)是椭圆1上任意一点,则m的取值范围是_答案:5,5椭圆的简单几何性质学生用书P26求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦

3、点坐标、顶点坐标和离心率【解】将椭圆方程变形为1,所以a3,b2,所以c.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2;焦点坐标为F1(,0),F2(,0);顶点坐标为A1(3,0),A2(3,0),B1(0,2),B2(0,2);离心率e. 将本例中椭圆方程改为9x24y236,结果又将如何?解:因为椭圆的标准方程为1,所以a29,b24,焦点在y轴上所以顶点坐标为(0,3),(2,0),焦点坐标为(0,)长轴长,焦距,离心率分别为6,2,.用标准方程研究椭圆几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a

4、,b,c,而应是a,b,c的两倍 1.对椭圆C1:1(ab0)和椭圆C2:1(ab0)的几何性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同解析:选D.椭圆C1:1(ab0)范围是axa,byb,顶点坐标是(a,0),(a,0),(0,b),(0,b),焦点坐标是(c,0),(c,0),离心率e;椭圆C2:1(ab0)范围是aya,bxb,顶点坐标是(b,0),(b,0),(0,a),(0,a),焦点坐标是(0,c),(0,c),离心率e,只有离心率相同2设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标解:(1)当0m4时,长轴

5、长和短轴长分别是4,2,焦点坐标为F1(1,0),F2(1,0),顶点坐标为A1(2,0),A2(2,0),B1(0,),B2(0,)(2)当m4时,长轴长和短轴长分别为,4,焦点坐标为F1,F2,顶点坐标为A1,A2,B1(2,0),B2(2,0)利用椭圆的几何性质求标准方程学生用书P26求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是6,离心率是;(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.【解】(1)设椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6,所以a3.又e,所以c2.所以b2a2c2945.所以椭圆的标准方程为1或1.(2)由题意知焦点在x轴上,故可设椭

6、圆的标准方程为1(ab0),且两焦点为F(3,0),F(3,0)如图所示,A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线,且|OF|c,|A1A2|2b,所以cb3.所以a2b2c218.所以所求椭圆的标准方程为1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法(2)根据已知条件“选标准,定参数”其一般步骤为:确定焦点所在的坐标轴;求出a2,b2的值;写出标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,6);(2)过点(3,0),离心率e.解:(1)由题意知2a4b,所以a2b.设椭圆标准方程为1(ab0)或1(ab0)

7、代入点(2,6)得,1或1,将a2b代入得,a2148,b237或a252,b213,故所求的椭圆的标准方程为1或1.(2)当椭圆焦点在x轴上时,有a3,所以c,所以b2a2c2963,所以椭圆的标准方程为1.当椭圆焦点在y轴上时,有b3,所以,所以a227,所以椭圆的标准方程为1.故所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率学生用书P27直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C. D.【解析】法一:不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(c,0),b0,c0,则直线l的方程为bxcybc0,由已知得2b,解得b23c2,又b

8、2a2c2,所以,即e2,所以e或e(舍去)法二:不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(c,0),b0,c0,则直线l的方程为bxcybc0,由已知得2b,所以2b,所以e.【答案】B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e求解若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2b2c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围 A为y轴上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,AF1F2为

9、正三角形,且AF1的中点B恰好在椭圆上,则此椭圆的离心率为_解析:如图,连接BF2.因为AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点所以F2BBF1.又因为BF2F130,|F1F2|2c,所以|BF1|c,|BF2|c,由椭圆定义得|BF1|BF2|2a,即cc2a,所以1.所以椭圆的离心率e1.答案:11椭圆的几何性质的分类椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标无关的本身固有性质如长轴长,短轴长,焦距,离心率等,它反映了椭圆的大小范围、对称性、扁平程度等;另一类是与坐标有关的性质,如顶点、焦点等,它反映了椭圆及其特殊点的平面位置2椭圆中的两个重要三角形(1)椭圆上任意一点P(x,y)(y0

10、)与两焦点F1、F2构成的PF1F2称为焦点三角形,周长为2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形,称为椭圆的特征三角形,边长满足a2b2c2.已知椭圆的标准方程可确定椭圆的性质,反过来,已知椭圆的部分性质,也可确定椭圆的方程,其关键是确定焦点的位置,设出椭圆的标准方程,再由性质确定a、b的值充分利用a、b、c之间的关系,其中a2b2c2是隐含条件,要高度重视当方程有两种形式时,应分别求解1椭圆1的焦距为()A8B4C. D2解析:选A.a225,b29,所以c4,焦距为2c8.2已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于_

11、解析:根据题意得2b6,ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2,所以a5,c4,故e.答案:3椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于,则此椭圆的标准方程是_解析:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,焦距为2c,则b1,a2b2()2,即a24.所以椭圆的标准方程是y21或x21.答案:y21或x21学生用书P87(单独成册)A基础达标1已知椭圆的离心率为,焦点是(3,0)和(3,0),则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选A.由已知,c3,又e,所以a6.所以b2a2c227.又焦点在x轴上,所以椭圆方程为1.2已知椭圆1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A4

12、 B5C7 D8解析:选D.因为椭圆长轴在y轴上,所以a2m2,b210m.所以c2a2b22m124.所以m8.3若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为,则m的值为()A. BC. D.解析:选B.因为焦点在x轴上,所以a,b,所以c,e ,所以m.4已知椭圆1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为()A. BC. D.解析:选C.由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|cb,即c2a2c2,所以a c,因为e,0e1,所以e1.5已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点若AB的

13、中点坐标为(1,1),则椭圆E的方程为()A.1 B1C.1 D.1解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,有1,1,两式相减得,因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以.因为右焦点为F(3,0),c3,所以a218,b29,所以椭圆E的方程为1.6与椭圆9x24y236有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是_解析:依题意得椭圆的焦点坐标为(0,),(0,),故c,又2b4,所以b2,a2b2c225,故所求椭圆方程为1.答案:17椭圆y21被直线xy10 所截得的弦长|AB|_解析:由得交点为(0,1),则|AB| .答案:8在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭

14、圆1(ab0)的左、右焦点已知点P(a,b),F1PF2为等腰三角形,则椭圆的离心率e_解析:设F1(c,0),F2(c,0)(c0),由题意得|PF2|F1F2|,即2c.把b2a2c2代入,整理得210,解得1(舍去)或.所以e.答案:9求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,其离心率为,焦距为8;(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.解:(1)由题意知,2c8,c4,所以e,所以a8,从而b2a2c248,所以椭圆的标准方程是1.(2)由已知所以从而b29,所以所求椭圆的标准方程为1或1.10.如图所示,椭圆的中心

15、在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1x轴,PF2AB,求此椭圆的离心率解:设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示,则有F1(c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线PF1的方程为xc,代入方程1,得y,所以P.又PF2AB,所以PF1F2AOB.所以,所以,所以b2c.所以b24c2,所以a2c24c2,所以.所以e.B能力提升11若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()A. BC. D.解析:选A.如图所示,四边形B1F2B2F1为正方形,则B2OF2为等腰直角三角形,所以.12已知椭圆的短半轴长

16、为1,离心率e满足0e,则长轴长的取值范围为_解析:由题意知b1,又因为e,所以e2,所以1a24,所以1b0)的长轴长为短轴长的倍,直线yx与椭圆交于A,B两点,C为椭圆的右顶点,求椭圆方程解:根据题意ab,C(a,0),设A(t,t),则t0,1,所以tb.所以,(a,0),abb2,所以b1,a,所以椭圆方程为y21.14(选做题)如图所示,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率解:法一:设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a、b、c,则焦点为F1(c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中,|F1F2|2|MF2|2|MF1|2,即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2| b2a,整理得3c23a22ab.又c2a2b2,所以3b2a.所以.所以e21,所以e.法二:设椭圆方程为1(ab0),则M(c,b)代入椭圆方程,得1,所以,所以,即e

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