1、21.2椭圆的几何性质1.了解研究椭圆几何性质的思想方法2.掌握椭圆的简单几何性质3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响 学生用书P251椭圆的简单几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0，0)焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴长长轴|A1A2|2a，短轴|B1B2|2b离心率e(0，1)2.离心率对椭圆扁平程度的影响由a2b2c2，a0，b0得，故
2、当椭圆的离心率越趋近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越趋近于0，则椭圆越趋近于圆1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac.()(3)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()答案：(1)(2)(3)2椭圆6x2y26的长轴端点坐标为()A(1，0)，(1，0)B(6，0)，(6，0)C(，0)(，0)D(0，)，(0，)答案：D3椭圆x24y21的离心率为()A.BC. D.答案：A4设P(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_答案：5，5椭圆的简单几何性质学生用书P26求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦
3、点坐标、顶点坐标和离心率【解】将椭圆方程变形为1，所以a3，b2，所以c.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a6，2c2；焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)；顶点坐标为A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)；离心率e. 将本例中椭圆方程改为9x24y236，结果又将如何？解：因为椭圆的标准方程为1，所以a29，b24，焦点在y轴上所以顶点坐标为(0，3)，(2，0)，焦点坐标为(0，)长轴长，焦距，离心率分别为6，2，.用标准方程研究椭圆几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a
4、，b，c，而应是a，b，c的两倍 1.对椭圆C1：1(ab0)和椭圆C2：1(ab0)的几何性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同解析：选D.椭圆C1：1(ab0)范围是axa，byb，顶点坐标是(a，0)，(a，0)，(0，b)，(0，b)，焦点坐标是(c，0)，(c，0)，离心率e；椭圆C2：1(ab0)范围是aya，bxb，顶点坐标是(b，0)，(b，0)，(0，a)，(0，a)，焦点坐标是(0，c)，(0，c)，离心率e，只有离心率相同2设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标解：(1)当0m4时，长轴
5、长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(2，0)，A2(2，0)，B1(0，)，B2(0，)(2)当m4时，长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2，0)，B2(2，0)利用椭圆的几何性质求标准方程学生用书P26求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】(1)设椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，所以a3.又e，所以c2.所以b2a2c2945.所以椭圆的标准方程为1或1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭
6、圆的标准方程为1(ab0)，且两焦点为F(3，0)，F(3，0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3.所以a2b2c218.所以所求椭圆的标准方程为1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法(2)根据已知条件“选标准，定参数”其一般步骤为：确定焦点所在的坐标轴；求出a2，b2的值；写出标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)过点(3，0)，离心率e.解：(1)由题意知2a4b，所以a2b.设椭圆标准方程为1(ab0)或1(ab0)
7、代入点(2，6)得，1或1，将a2b代入得，a2148，b237或a252，b213，故所求的椭圆的标准方程为1或1.(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a3，所以c，所以b2a2c2963，所以椭圆的标准方程为1.当椭圆焦点在y轴上时，有b3，所以，所以a227，所以椭圆的标准方程为1.故所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率学生用书P27直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C. D.【解析】法一：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b
8、2a2c2，所以，即e2，所以e或e(舍去)法二：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，所以2b，所以e.【答案】B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为
9、正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为_解析：如图，连接BF2.因为AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点所以F2BBF1.又因为BF2F130，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|c，由椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，所以1.所以椭圆的离心率e1.答案：11椭圆的几何性质的分类椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标无关的本身固有性质如长轴长，短轴长，焦距，离心率等，它反映了椭圆的大小范围、对称性、扁平程度等；另一类是与坐标有关的性质，如顶点、焦点等，它反映了椭圆及其特殊点的平面位置2椭圆中的两个重要三角形(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y0
10、)与两焦点F1、F2构成的PF1F2称为焦点三角形，周长为2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2b2c2.已知椭圆的标准方程可确定椭圆的性质，反过来，已知椭圆的部分性质，也可确定椭圆的方程，其关键是确定焦点的位置，设出椭圆的标准方程，再由性质确定a、b的值充分利用a、b、c之间的关系，其中a2b2c2是隐含条件，要高度重视当方程有两种形式时，应分别求解1椭圆1的焦距为()A8B4C. D2解析：选A.a225，b29，所以c4，焦距为2c8.2已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于_
11、解析：根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2，所以a5，c4，故e.答案：3椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是_解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b1，a2b2()2，即a24.所以椭圆的标准方程是y21或x21.答案：y21或x21学生用书P87(单独成册)A基础达标1已知椭圆的离心率为，焦点是(3，0)和(3，0)，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.由已知，c3，又e，所以a6.所以b2a2c227.又焦点在x轴上，所以椭圆方程为1.2已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A4
12、 B5C7 D8解析：选D.因为椭圆长轴在y轴上，所以a2m2，b210m.所以c2a2b22m124.所以m8.3若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为()A. BC. D.解析：选B.因为焦点在x轴上，所以a，b，所以c，e ，所以m.4已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为()A. BC. D.解析：选C.由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以|OP|cb，即c2a2c2，所以a c，因为e，0e1，所以e1.5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的
13、中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B1C.1 D.1解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，有1，1，两式相减得，因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以.因为右焦点为F(3，0)，c3，所以a218，b29，所以椭圆E的方程为1.6与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，)，故c，又2b4，所以b2，a2b2c225，故所求椭圆方程为1.答案：17椭圆y21被直线xy10 所截得的弦长|AB|_解析：由得交点为(0，1)，则|AB| .答案：8在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭
14、圆1(ab0)的左、右焦点已知点P(a，b)，F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e_解析：设F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，由题意得|PF2|F1F2|，即2c.把b2a2c2代入，整理得210，解得1(舍去)或.所以e.答案：9求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.解：(1)由题意知，2c8，c4，所以e，所以a8，从而b2a2c248，所以椭圆的标准方程是1.(2)由已知所以从而b29，所以所求椭圆的标准方程为1或1.10.如图所示，椭圆的中心
15、在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解：设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，所以P.又PF2AB，所以PF1F2AOB.所以，所以，所以b2c.所以b24c2，所以a2c24c2，所以.所以e.B能力提升11若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A. BC. D.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则B2OF2为等腰直角三角形，所以.12已知椭圆的短半轴长
16、为1，离心率e满足0e，则长轴长的取值范围为_解析：由题意知b1，又因为e，所以e2，所以1a24，所以1b0)的长轴长为短轴长的倍，直线yx与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，求椭圆方程解：根据题意ab，C(a，0)，设A(t，t)，则t0，1，所以tb.所以，(a，0)，abb2，所以b1，a，所以椭圆方程为y21.14(选做题)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解：法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为(c，b)，则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2| b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.所以e21，所以e.法二：设椭圆方程为1(ab0)，则M(c，b)代入椭圆方程，得1，所以，所以，即e