1、构造常见几何体巧解立体几何小题知识与方法若立体几何问题的题干并没有给出图形，而是直接描述一些点、线、面的位置关系，或所给图形的立体感不强，这类题直接想象图形往往难度较大，此时可构造常见的几何体模型（如正方体、长方体等），运用这些几何体较强的立体感来辅助进行空间想象，是较好的处理方法.典型例题【例1】在正四面体中，M为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_.【解析】如图1，设平面于O，则O是正三角形的中心，不妨设，则，所以，故直线与平面所成角的正弦值为解法2：如图2，将正四面体放到正方体中，设正方体棱长为2，则，所以，易得平面的法向量可取，故从而直线与平面所成角的正弦值为【答案】变式1在正四面体
2、中，点M在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为_.【解析】如图1，设N是中点，平面于O，则O是正三角形的中心，设，易求得，所以，从而直线与平面所成角的正弦值为.解法2：如图2，将正四面体放到正方体中，设正方体棱长为3，则，所以，易得平面的法向量可取，故从而直线与平面所成角的正弦值为【答案】变式2在正四面体中，点M在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_.【解析】解法1：如图1，设N是的中点，平面于O，则O是正三角形的中心，显然，所以，设，易求得，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.解法2：如图2，将正四面体放入正方体，设正方体棱长为3，则，所以，故从而异面直线与所成角的余弦值为.【答案】【
3、反思】将正四面体放入正方体之中，借助正方体的结构特征来求解问题，是一种很好的解题方法.【例2】如下图所示，三棱锥中，是边长为的正三角形，E和F分别为、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为_.【解析】如图，将三棱锥放到正方体中，正方体棱长为1，延长到顶点S，取中点G，连接、，则，在中，所以，即异面直线、所成角的余弦值为.【答案】变式 如下图所示，三棱锥中，E和F分别为、中点，则异面直线、所成角的余弦值为_.【解析】如图，将三棱锥放入长方体中，其中，容易验证满足题干条件，取中点G，连接、，易证为平行四边形，故，在中，所以，故异面直线、所成角的余弦值为.【答案】【例3】二面角的大小为45，于M，则异
4、面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【解析】构造如图所示的正方体，并将底面向右扩展一个正方形，将平移至处，容易看出与成60角，所以异面直线与所成角的余弦值为.【答案】D变式1二面角的大小为60，于M，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【解析】构造如图所示的长方体，其中底面是边长为1的正方形，高为，二面角即为二面角，容易验证满足二面角的大小为60，将平移至处，在中，易求得，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.【答案】B变式2二面角的大小为60，于M，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【解析】构造如图所示的长方体，长、宽、高分别为1、1、，平面即为，平面即
5、为，二面角即为二面角，容易验证满足二面角的大小为60，过Q作于T，显然，所以平面，故即为直线与平面所成角，易求得，所以.【答案】D【反思】二面角模型下的空间计算问题，通过构造长方体，借助长方体较强的立体感来求解问题，是较好的处理方法.强化训练1.（）正四面体中，点M、N都在棱上，则异面直线与所成角的余弦值为_.【解析】将正四面体放入正方体中，建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为3，则，所以，从而故异面直线与所成角的余弦值为.【答案】2.（）如下图所示，三棱锥中，是等腰直角三角形，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【解析】如图，将三棱锥放入正方体中，由正方体的结构特征知平面，设与
6、平面交于点E，则E为的中心，即为直线与平面所成角，易求得，所以，故，即直线与平面所成角的正弦值为.【答案】A3.（）如下图所示，三棱锥中，则点C到平面的距离为_.【解析】如图，将三棱锥放入长方体中，其中，容易验证满足题干条件，易证平面，过E作于F，则，所以平面，在中，所以，故点E到平面的距离为，因为中点为O，所以点C到平面ABD的距离也为【答案】4（）二面角的大小为60，A为垂足，且，则_.【解析】如图，将二面角放到长方体中考虑，其中四边形和均为正方形，平面即为，平面即为，显然即为二面角的平面角，所以，由题意，满足题干所有条件，所以.【答案】5.（）如下图所示，在所有棱长均相等的平行六面体中，则二面角的余弦值为_.【解析】如图，由题意，不难发现整个图形局部的四面体是正四面体，作平面于E，则E在上且为正的中心，取中点F，连接，则，所以即为二面角的平面角，设，易求得，从而，故二面角的余弦值为.【答案】
