1、6.1幂函数学 习 任 务核 心 素 养1了解幂函数的概念,会画出幂函数yx,yx2,yx3,y,yx的图象(重点)2能根据幂函数的图象,了解幂函数的性质(难点)3会用几个常见的幂函数性质比较大小(重点、难点)1结合幂函数的图象提升直观想象素养2借助幂函数的性质,培养逻辑推理的数学素养3通过本节课学习你能解决哪些问题?经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式yx0.38.这是一类怎样的函数,这
2、类函数有什么一般的性质?知识点1幂函数的概念一般地,我们把形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数1.若ymx(2n4)是幂函数,则mn_.3由题意得所以mn3.知识点2幂函数的图象和性质1幂函数的图象在同一平面直角坐标系中,幂函数yx,yx2,yx3,yx,yx1的图象如图所示:2幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0,)(,0)(0,)值域R0,)R0,)(,0)(0,)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(,)上单调递增在(,0上单调递减,在0,)上单调递增在(,)上单调递增在0,) 上单调递增在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递减定点(1,1),
3、(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)2.已知幂函数f(x)x的图象经过点(2,8),则f(2)_.882,所以3,所以f(x)x3,f(2)(2)38.3.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)幂函数yx的定义域为R,与指数也无关()提示(1)由幂函数的一般式yx(为常数)及图象可知,当x0时,y0,即图象不经过第四象限(2)yx1不经过(0,0)点,故错误(3)yx,定义域为0,),与指数有关,故错误答案(1)(2)(3) 类型1幂函数的概念【例1
4、】(1)下列函数:yx3;yx;y4x2;yx51;y(x1)2;yx;yax(a1)其中幂函数的个数为()A1B2 C3D4(2)已知y(m22m2)xm222n3是幂函数,求m,n的值(1)B幂函数有两个(2)解由题意得解得或所以m3或1,n.1幂函数yx满足的三个特征(1)幂x前系数为1;(2)底数只能是自变量x,指数是常数;(3)项数只有一项2求幂函数解析式时常用待定系数法,即设解析式为f(x)x,根据条件求出.跟进训练1下列函数是幂函数的有_(填序号)yx2x;y2x2;yx;yx21;y;yx.根据幂函数的定义,只有符合题意2已知幂函数f(x)x的图象经过点,则f(100)_.由题
5、知22,.f(x)x,f(100)100. 类型2比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小:(1)与;(2)1与1;(3)0.25与6.25;(4)1.20.6与0.30.4;(5)(3)与(2).思路点拨可以借助幂函数yx2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较解(1)yx是0,)上的增函数,且,.(2)yx1是(,0)上的减函数,且1.(3)0.252,6252.5.yx是0,)上的增函数,且22.5,22.5,即0.2510.61,0.30.410.41,从而0.30.40,(2)2(2).比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若指数相同
6、、底数不在同一单调区间,则用奇偶性;(2)若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数化为相同,是否可以引入中间量跟进训练3比较下列各组中两个数的大小:(1)3,3.1;(2)a1.5,(a1)1.5(a0);(3)(0.88),0.89.解(1)因为函数yx在(0,)内是减函数,所以33.1.(2)函数yx1.5在(0,)内是增函数,又a0,a1a,所以(a1)1.5a1.5.(3)函数yx为偶函数,在0,)上是增函数,所以(0.88) 0.88g(x);(2)f(x)g(x);(3)f(x)g(x);(2)当x1时,f(x)g(x);(3)当x(0,1)时,f(x)0,幂函数的图象恒经过(0,0
7、),(1,1),在0,)是增函数(2)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()ABCD(1)B(2)B(1)令a2,b,c,d1,正好和题目所给的形式相符合在第一象限内,x1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以abcd.故选B.(2)yx的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B. 类型4幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,)上单调递减,求满足(a1)y时,x
8、、y与0的大小关系有多少种?提示0xy,xy0y.解函数在(0,)上递减,3m90,解得m3.又mN*,m1,2.又函数图象关于y轴对称,3m9为偶数,故m1.有(a1)32a0或0a132a,或a1032a,解得a或ax,则x的取值范围是_(,0)(1,)作出函数yx2和yx的图象(如图所示),易得x1. 1(多选题)下列所给出的函数中,是幂函数的是()AyxByx3CyxDy2x2ABC幂函数是形如yx的函数,观察四个函数只有D中函数不是幂函数2函数yx的图象是() ABCDC函数yx是非奇非偶函数,故排除A、B选项又1,故选C.3下列不等式成立的是()AB2D80时,幂函数的图象经过(0,0),(1,1),在(0,)上图象上升0时,幂函数的图象经过(1,1),在(0,)上图象下降