1、第一章 常用逻辑用语 学.科.网12 充分条件与必要条件12.2 充要条件 1.会判断一个命题的充要条件；2会求一个命题的充要条件；3会证明p是q的充要条件.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩 新 知 视 界 1充要条件 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件 2判断命题的充要关系的方法(1)定义法(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈A綈B的等价关系对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A
2、的必要条件；若AB，则A是B的充要条件 3证明p是q的充要条件 证明：(1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.(2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以p是q的充要条件思 考 感 悟充要条件与原命题、逆命题有什么关系？提示：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题 尝 试 应 用 1“|x|y|”是“xy”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：若x1，y1，则|x|y|，但xy；而xy|x|y|.答案：B 2“bc0”是“二次函数yax2bxc(a0)经过原点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件
3、C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：bc0yax2，二次函数一定经过原点；二次函数yax2bxc经过原点c0，b不一定等于0，故选A.答案：A 3集合MNN是MNM的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：MNNNMMNM.答案：C 4不等式x23x20成立的充要条件是_ 解 析：x2 3x 20(x 1)(x 2)01x2.答案：1x0，x1x20，x1x20，即m24m240，m0，m240，解得4 33 m0，m2或m2.所以 2m4 33.因此关于 x 的二次方程 x2mxm240 有两个不相等的正实根的充要条件是 2m0，q：方程 x2xm
4、0 有实根解：(1)四边形的对角线互相平分/四边形是矩形；四边形是矩形四边形的对角线互相平分，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)x1 或 x2x1 x1；x1 x1x1 或 x2.所以 p 是 q 的充要条件(3)在ABC 中，A60/sinA 32(如A120时，sinA 32)；在ABC 中，sinA 32 A60，所以 p 是 q 的必要不充分条件(4)m0方程 x2xm0 的 14m0，即方程有实根；方程 x2xm0 有实根，即 14m0/m0，所以 p 是 q 的充分不必要条件 类型二 充分、必要条件的传递性 例2 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件
5、，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？分析 解答此类题目最好根据题目叙述，画出关系简图，进行解答图 1 解 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图如图1所示(1)由图易知，srq，且 qs，s 是 q 的充要条件(2)rq，qsr，r 是 q 的充要条件(3)qsrp，而 p/q，p 是 q 的必要不充分条件 迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案
6、：A解析：由题意得乙甲，丙乙，乙/丙则丙 乙甲，但甲/丙，丙是甲的充分不必要条件zxxkw 类型三 充要条件的证明 例3 求证关于x的方程ax2bxc0，(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.分析(1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性(2)本题中的条件是 ac0，x1x2ca0，ac0.充分性：由 ac0 及 x1x2ca0，所以x1与x2同号 又x1x2m20，所以x1，x2同为负实数，即x2mx10有两个负实根的充分条件是m2.(2)必要性：因为 x2mx10 有两个负实根x1 和 x2，且 x1x21，所以m240，m0，故 m2，即 x2mx10 有两个负实根的必要条件是
7、 m2.综上，m2 是 x2mx10 有两个负实根的充要条件 类型四 充要条件的探求 例4 已知数列an的前n项和Snanb(a0，且a1)，求数列an是等比数列的充要条件 分析 可以先求必要条件，再求充分条件，注意等比数列的定义及性质的应用 解(1)先求必要条件：当n1时，a1S1ab，当n2时，anSnSn 1(a1)an 1(a0，且a1)，数列an为等比数列，公比为a，且a1ab.b1，即an是等比数列的必要条件是b1.(2)再求充分条件：当b1时，Snan1(a0，且a1)，当n2时，anSnSn1(a1)an1.当n1时，a1S1a1，满足上式 an(a1)an1(a0，a1，n1)anan1a(n2)an是以 a(a0,1)为公比的等比数列an是等比数列的充分条件是 b1.综上，an是等比数列的充要条件为 b1.迁移体验4(1)平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同 Ba，b两向量中至少有一个零向量 C存在R，ab D存在不全为零的实数1、2，1a2b0(2)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_答案：(1)D(2)3k 3解析：(1)由共线向量基本定理可知，只有 D 正确(2)当圆 x2y21 与直线 ykx2 有一个公共点时，有|2|k211，解得 k 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是 3k 3.zxxkw
