1、第八章 圆锥曲线的方程1、已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）A、B、C、D、MxyNF21、D 【思路分析】法一：F2 (c , 0)，M (0 ,c) 依MF2中点N ()在双曲线上，得=1即=1=1.注意到e 1，解得e =+1.法二：连NF1，则| NF1| =c，| NF2| = c.根据双曲线的第一定义，有| NF1| - | NF2| = 2a.即c c = 2a e =+1.2下列命题中假命题是（ ） A离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直 B过点（1，1）且与直线x2y+=0垂直的直线方程是2
2、x + y3=0 C抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1 D+=1的两条准线之间的距离为2解答：A：e = ，a = b，渐近线y = x 互相垂直，真命题。 B：设所求直线斜率为k，则k=2，由点斜式得方程为2x+y30 也为真命题C：焦点F（，0）准线x = d = 1真命题D： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2 假命题，选D评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。3.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，PF1F2面积为1，且则该双曲线的方程为A B C D3. A【思路分析】：设，则， 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算4、已
3、知点为椭圆上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点到直线的距离不大于3，则实数的取值范围是( )A.-7 ，8 B.， C.， D.(，)8 ，4、A ，设，则 ， ，, ， ，得 .5、在中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y)，给出满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分)ABC周长为10ABC面积为10ABC中A=90ABC中AB=AC (b) x2+y2=4 (y0) (c) x=0 (y0)(a) y2=25 (d) (a)(b)(c)(d)5、 (d) ，
4、 (a) ， (b) (c) 6已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最不值为 （ ） A5B4C（D）6、 C【思路分析】：由于点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，所以过焦点F到直线x+2y+10=0的距离即是【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想7、已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 （ ） A、 B、 C、 D、27、（分析：，由 （已知） 又 故选B项）8动圆C恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，则此动圆圆心的轨迹方程为（ ）Ay2=4xBx2
5、=4yCy2=2xDx2=2y8B 思路分析：圆心到（0，1）的距离等于到y=-1的距离，则其轨迹为抛物线。命题分析：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。9若、为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD39C【思路分析】：由知四边形是平行四边形，又知平分，即是菱形，设，则. 又，由双曲线的第二定义知：,且，故选.【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为椭圆；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O
6、为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线的左半支；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的10.11P分的比是x，B分的比是y，则p（x,y）所在的曲线是 （选填直线、抛物线、椭圆、双曲线）ABP11解答：将AP分为x份，BP占1份， y = 填双曲线 MBCPQA 评析：考察定比分点概念与公式。难点是函数y = 的图象为双曲线。12如图，B地在A地正东方向6km处，C地在B地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任一点到A的距离比到B的距离远4km，现要在曲线PQ上选一处M，建一码头，向BC两地转运货
7、物，经测算，从M到B、M到C修建公路费用分别是20万元/km、30万元/km，那么修建这条路的总费用最低是 12解答：以AB为X轴，AB的中垂线为Y轴，建立平面直角坐标系。MBCPQAyxo则c=3，a=2，b= 曲线PQ的方程为 （x2） 点C（4，） 焦点B对应的准线l：x = 由双曲线第二定义 30|MC|+20|MB|=30（|MC|+dml）30（4）=80（万元） 填80（万元）评析：用双曲线第一定义求方程，巧用第二定义将|MB|转化为 dml，求出当且仅当MCAB时，dml+|MC|最短，使这条路造价最低。13点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是.13【思
8、路分析】：的准线是. 到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值为.【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法.14（本小题满分12分）过点的直线与又曲线的下半支交于不同的两点、，（1）求直线斜率的取值范围； （2）过点与中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围。14 解：（1）设直线斜率为，方程为，代入双曲线方程得 其方程两根都为负数 解之得 5分(2)设中点，则 即则直线的方程为： 化简得 7分即，而在上为单调减函数 12分15（12分）已知圆A的圆心为(，0)，半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A与点A关于直线
9、yx对称 求双曲线C的方程； 设直线l过点A，斜率为k，当0k1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标15. 设双曲线的渐近线为ykx，则，解得k1即渐近线为yx又点A关于yx的对称点A的坐标为(0，)，所以，ab，双曲线的方程为 4分 直线l：yk(x)，(0k1)依题意设B点在与l平行的直线l上，且l与l间的距离为，设直线l：ykxm，则，即m22km2 6分把l代入双曲线方程得：(k21)x22mkxm220 0k1， k210 4(m22k22)0，即m22k22 8分解，得m，k 10分此时，x2，y，所以B(2，) 12分16、（本题满分12
10、分）已知：如图，双曲线，B是右焦点，F是左顶点，点A在轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C，在第一，第三象限的渐近线的垂线，垂足是。（1）求证：；（2）若与双曲线的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线的离心率的取值范围。16、解：（1）证法一： 解得成等比数列 ， 证法二：同上得， 轴，（2） 即 即 （本题主要考查圆锥曲线和向量知识的综合运用，将解析几何的问题与平面向量的问题有机地结合起来，进一步考查综合解题的年能力）17(本题满分12分)已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且 （1）求直线AB的方程； （2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C
11、、D四点是否共圆？为什么？17、【思路分析】：（1）设直线AB：代入得 （）2 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 且 3 N是AB的中点 4 k = 1 AB方程为：y = x + 1 6 （2）将k = 1代入方程（）得 或 7 由得， ， 8 CD垂直平分AB CD所在直线方程为 即代入双曲线方程整理得 9 令，及CD中点 则， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 A、B、C、D四点共圆 12分18（12分）设R，i，j为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，|a|+|b|=8（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程
12、（2）过A（0，3）作直线L与曲线C交于A、B两点，若是否存在直线L使得OAPB为矩形，若存在，求出直线L的方程，若不存在，说明理由18解（1）a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8动点M（x，y）是到定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和8曲线C的轨迹方程为（2）直线L过N（0，3），若L是y轴，则A，B是椭圆的顶点=+=0，P与O重合与OAPB为矩形矛盾直线L的斜率存在，设L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2）由得（4+3k2）x2+8kx21=0=64k2+845（4+3k2）0恒成立由韦达定理得x1+x2= x1x2=+ OAPB是平行四边
13、形若存在L，使它为矩形，则 即=0 x1x2+y1y2=0即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，（1+k2）（）+3k（）+9=0k2= k= 所求直线L的方程：y=x+319（14）过曲线C：y=的焦点F作弦AB，（1）求弦AB的中点P的轨迹方程；（2）过点D（2，3）作曲线C的弦M1N1使D恰为M1N1的中点，求M1N1所在直线l1的方程（3）按向量 =（n1）(0，1)平移l1得ln，n=2，3，4，ln与曲线C交于Mn Nn，记|MnNn|=an，nN*，求的前n项和Sn及S16019解：（1）焦点F（0，1），设弦AB的斜率为K，则AB所在的直线方程为 y=kx+1 代
14、入y=化简为x24kx4=0 设P（x，y）则：x= y=2K2+1 消去K得P点的轨迹方程为： y= (x0且y1) （2）设M1N1的坐标分别为（xM，yM）（xN，yN）则 l1的方程为:xy+1=0即所求的l1的方程为xy+1=0 (3)由（2）知l1：xy+1=0 ln：xy+n=0将xy+n=0代入y=，整理得：x24x4n=0an=|MnNn|=an=4Sn=S160=2评析：考察考生求轨迹方程的能力，直线与曲线的位置关系，会用差分法求弦所在的直线方程，弦长公式，数列与弦长的转换，求和方法应用。20文已知ABC的两顶点A、B分别是双曲线的左、右焦点, 且sinC是sinA、sin
15、B的等差中项. （）求顶点C的轨迹T的方程； （）设P(-2,0), 过点作直线l交轨迹T于M、N两点，问MPN的大小是否为定值？证明你的结论. 20文、【思路分析】 () 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC|BC| + |AC| = 2|AB| = 4点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x轴上两点）.点C的轨迹T的方程是=1 (x2) 5分 () 当lx轴时，直线l的方程为x =，代入=1解得M、N的坐标为（），而|PE| =，MPN = 90，猜测MPN= 90为定值. 7分证明：x = my3x2 +
16、 4y2 = 12设直线l的方程为my = x +，由，得 (3m2 + 4) y2 my= 0 y1 + y2 =，y1 y2 = 9分= (x1 + 2 , y1)(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2 = (my1 +) (my1 +) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) +=(m2 +1)+m+= 0MPN = 90，为定值. 13分【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解析几何基本思想和特殊化思想，考查考生的运算能力以及综合解题能力. 21、（13分）理已知ABC的两顶点A、B分
17、别是双曲线的左、右焦点, 且sinC是sinA、sinB的等差中项. （）求顶点C的轨迹T的方程； （）设P(-2,0), M、N是轨迹T上不同两点，当PMPN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.21理、【思路分析】() 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC|BC| + |AC| = 2|AB| = 4点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x轴上两点）.点C的轨迹T的方程是=1 (x2) 5分()解法一：设M (x1 , y1)、N (x2 , y2)，直线MN：x = my + b由，得 (3m2
18、+ 4) y2 + 6mby + 3b2 12 = 0y1 + y2 =，y1y2 = PMPN，= (x1 +2 , y1)，= (x2 +2 , y2) = ( x1 + 2) (x2 + 2) + y1y2 = (my1 + b +2 ) (my2 + b + 2) + y1y2 = 0整理，得(m2 + 1) y1y2 + m (b + 2) (y1 + y2) + (b + 2)2 = 0 9分 (m2 + 1)+ m (b + 2)() + (b + 2) 2 = 0化简，得7b2 + 16b + 4 = 0解得b = 或b = -2（舍去）故直线MN：x = my过定点 (, 0
19、 ) 13分解法二：依题意，可设直线PM：y = k (x +2 )；PN：y = (x + 2)，其中k0由，得(3 + 4k2) x2 + 16k2x + 16k2 12 = 0这个方程的两根是-2和xM，xM =， yM = k (xM +2) =将xM、yM中的k换为，得xN =, yN = 8分当yMyN即k1时，kMN =直线MN的方程为y ，即y = 12分当yM = yN即k = 1时，直线MN的方程为x =.综上，直线MN过定点 (, 0). 13分【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解决直线与椭圆位置关系问题的基本方法，着重考查考生引参消参、运算能
20、力以及综合解题能力. 22椭圆（ab0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 （12）求离心率e的取值范围；当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。22思路分析：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，0，即01，01，解得1。又01，1。6（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2+2b2+18(-byb)。若0b3，则0-b-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0b3矛盾。若b3，则-b-3，当y=-3时，|HN|2有最大值2b2+18。由题意知：2b2+18=50，b2=16，所求椭圆方程为。12命题分析：本题考查椭圆的离心率、几何性质、方程，结合向量与最值。练习：23（12分）直角坐标平面内，的两个顶点,的坐标分别为，平面内两点、同时满足以下条件：； .（1）求点的轨迹T的方程；（2）过点的直线与曲线T交于、两点，求的取值范围.
