1、6.1幂函数学 习 任 务核 心 素 养1了解幂函数的概念，会画出幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象(重点)2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质(难点)3会用几个常见的幂函数性质比较大小(重点、难点)1结合幂函数的图象提升直观想象素养2借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养3通过本节课学习你能解决哪些问题？经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式yx0.38.这是一类怎样的函数，这
2、类函数有什么一般的性质？知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数1.若ymx(2n4)是幂函数，则mn_.3由题意得所以mn3.知识点2幂函数的图象和性质1幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图所示：2幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在0，)上单调递增在(，)上单调递增在0，) 上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减定点(1,1)，
3、(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)2.已知幂函数f(x)x的图象经过点(2,8)，则f(2)_.882，所以3，所以f(x)x3，f(2)(2)38.3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)幂函数yx的定义域为R，与指数也无关()提示(1)由幂函数的一般式yx(为常数)及图象可知，当x0时，y0，即图象不经过第四象限(2)yx1不经过(0,0)点，故错误(3)yx，定义域为0，)，与指数有关，故错误答案(1)(2)(3) 类型1幂函数的概念【例1
4、】(1)下列函数：yx3；yx；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为()A1B2 C3D4(2)已知y(m22m2)xm222n3是幂函数，求m，n的值(1)B幂函数有两个(2)解由题意得解得或所以m3或1，n.1幂函数yx满足的三个特征(1)幂x前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项2求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)x，根据条件求出.跟进训练1下列函数是幂函数的有_(填序号)yx2x；y2x2；yx；yx21；y；yx.根据幂函数的定义，只有符合题意2已知幂函数f(x)x的图象经过点，则f(100)_.由题
5、知22，.f(x)x，f(100)100. 类型2比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)1与1；(3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(3)与(2).思路点拨可以借助幂函数yx2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较解(1)yx是0，)上的增函数，且，.(2)yx1是(，0)上的减函数，且1.(3)0.252，6252.5.yx是0，)上的增函数，且22.5，22.5，即0.2510.61,0.30.410.41，从而0.30.40，(2)2(2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同
6、、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量跟进训练3比较下列各组中两个数的大小：(1)3，3.1；(2)a1.5，(a1)1.5(a0)；(3)(0.88)，0.89.解(1)因为函数yx在(0，)内是减函数，所以33.1.(2)函数yx1.5在(0，)内是增函数，又a0，a1a，所以(a1)1.5a1.5.(3)函数yx为偶函数，在0，)上是增函数，所以(0.88) 0.88g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0,1)时，f(x)0，幂函数的图象恒经过(0,0
7、)，(1,1)，在0，)是增函数(2)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()ABCD(1)B(2)B(1)令a2，b，c，d1，正好和题目所给的形式相符合在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.(2)yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B. 类型4幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a1)y时，x
8、、y与0的大小关系有多少种？提示0xy，xy0y.解函数在(0，)上递减，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1.有(a1)32a0或0a132a，或a1032a，解得a或ax，则x的取值范围是_(，0)(1，)作出函数yx2和yx的图象(如图所示)，易得x1. 1(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是()AyxByx3CyxDy2x2ABC幂函数是形如yx的函数，观察四个函数只有D中函数不是幂函数2函数yx的图象是() ABCDC函数yx是非奇非偶函数，故排除A、B选项又1，故选C.3下列不等式成立的是()AB2D80时，幂函数的图象经过(0,0)，(1,1)，在(0，)上图象上升0时，幂函数的图象经过(1,1)，在(0，)上图象下降