1、2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a8+a143a114，则S21（）A72B84C144D1682（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k20（k0）和定点P（1，1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（）A（，1）B（，1）（2，+）C（，2）（0，+）D（，2）3（5分）如果直线yax+2与直线y3xb关于直线yx对称，那么（）Aa=13，b6Ba=13，b6Ca3，b2Da3，b64（5分）已知
2、抛物线x216y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x2）2+（y6）24上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A12B10C8D65（5分）设F是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH的内切圆与x轴切于点B，且BF=3OB，则C的离心率为（）A2+273B3+73C4+73D5+736（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，nan+12Sn，bn=(-1)nan，数列bn的前n项和为Tn，则T100（）A0B50C100D25257（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，
3、他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以a2+b2为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭圆C：x24+y2m=1(0m4)的蒙日圆为E：x2+y27，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A椭圆C的离心率为12BM到C的右焦点的距离的最大值为7+1C若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-34DMPQ面积的最大值为728（5分）已知函数
4、f（x）的定义域为R，且满足f（1）9，对任意实数x1，x2都有f(x1+x2)=(910)x2f(x1)+(910)x1f(x2)，若anf（n），则an中的最大项为（）Aa9Ba10Ca8和a9Da9和a10二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分（多选）9（5分）下列有关数列的说法正确的是（）A数列2021，0，4与数列4，0，2021是同一个数列B数列an的通项公式为ann（n+1），则110是该数列的第10项C在数列1，2，3，2，5，中，第8个数是22D数列3，5，9，17，33，
5、的通项公式为an=2n+1（多选）10（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为bn，数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，下列说法正确的是（）AT20221348B若Tn2022，则n3033CS1000a10021Da12+a22+a32+a5002a500a501（多选）11（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）24，
6、直线l：x+y20，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（）A四边形MAPB面积的最小值为4B线段AB的最小值为22C当直线AB的方程为x+y0时，APB最小D若动直线l1l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长CD(22，23)，则直线l1横截距的取值范围为(2-2，0)(-4，-2-2)（多选）12（5分）已知抛物线C：y22px（p0）与圆O：x2+y25交于A，B两点，且|AB|4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A若直线l的斜率为33，则|MN|8B|MF|+2|NF|的最小值为3+22C若以MF为直径的圆与
7、y轴的公共点为（0，62），则点M的横坐标为32D若点G（2，2），则GFM周长的最小值为4+5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）经过点P（0，1）作直线l，若直线l与连接A（1，2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围为 14（5分）已知数列an为递减数列，其前n项和Snn2+2n+m，则实数m的取值范围是 15（5分）已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的圆心为I，若3IA+5IB+6IF2=0，则该椭圆的离心率是 16（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形
8、ABCD满足ABAD，CBCD，BABC+2DADC=0，若点A，C分别为椭圆E：x28+y2b2=1（b0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17半径为3的圆C过点A（1，1），圆心C在直线y2x上且圆心在第一象限（1）求圆C的方程；（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程18已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y24的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB-sinA=12sinC（1）求线段AB的长度；（2）求顶点C的轨迹方程19已知数列an满足a1+3a2+5a3+（
9、2n1）an3n（1）求an；（2）若对任意的nN*，an（1）n恒成立，求的取值范围20如图，已知点A，B，C是抛物线x2y上的三个不同的点，且ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形（）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；（）求三角形ABC的面积的最小值21已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11，当n2（nN*）时，(n-1)Sn-(n+1)Sn-1=13(n3-n)（1）计算：a2，a3；（2）证明Snn(n+1)为等差数列，并求数列an的通项公式；（3）设bn=tanan，求数列bn+1bn的前n项和Tn22设椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点F1，F2分别是双曲
10、线x24-y2=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为2105（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a8+a143a114，则S21（）A72B84C144D168【解答】解：由等差数列性质知a8+a142a113a114
11、，解得a114，故S21=21(a1+a21)2=21a11=84故选：B2（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k20（k0）和定点P（1，1），若过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（）A（，1）B（，1）（2，+）C（，2）（0，+）D（，2）【解答】解：圆C：x2+y2+2kx+2y+k20化为标准方程：（x+k）2+（y+1）21，过点P（1，1）可以作两条直线与圆C相切，点P（1，1）在圆外，将点P（1，1）代入圆方程得：（1+k）2+（1+1）21，k0（舍去）或k2，k的取值范围是（，2）故选：D3（5分）如果直线yax+2与直线y3xb关于直线yx对称，那么
12、（）Aa=13，b6Ba=13，b6Ca3，b2Da3，b6【解答】解：法一：由题意，函数y3xb的反函数为y=13x+b3，与yax+2对照可得a=13，b6；法二：在yax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y3xb上，故得b6；又y3x6上有点（0，6），则点（6，0）在yax+2上，代入得a=13，由此可得a=13，b6故选：A4（5分）已知抛物线x216y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E：（x2）2+（y6）24上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A12B10C8D6【解答】解：由题意知，圆心E（2，6），半径r2，抛物线的焦点F（0，4），准线l：y4，如图，作PHl于H
13、，因为P在抛物线上，所以|PF|PH|，因为|PQ|+|PH|QH|，当P，Q，H三点共线时，取等号，又|QH|EH|EQ|，则当E，Q，H三点共线时，取等号，过点E，作EH1l，垂足为H1，EH1交圆于Q1点，交抛物线于P1，此时E，Q1，P1，H1四点共线，则上述两式可同时取等号，所以（|P1Q1|+|P1H1|）min|Q1H1|EH1|EQ1|6（4）|28，所以|PQ|+|PF|的最小值为8，故选：C5（5分）设F是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH的内切圆与x轴切于点B，且BF=3OB，则C的离心率为
14、（）A2+273B3+73C4+73D5+73【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=bax，即bxay0，F（c，0）到渐近线的距离为|FH|=|bc|b2+a2=b，|OH|=c2-b2=a，则直角三角形FOH的内切圆的半径r=a+b-c2，如图，设三角形的内切圆与FH切于M，则|MH|=r=a+b-c2，BF=3OB，可得|FM|=|BF|=34c，|BF|+|MH|=34c+a+b-c2=|FH|=b，即2b2a+c，则4b24c24a2c2+4ac+4a2，所以8a2+4ac3c20，由e=ca，3e24e80，e1，e=2+273故选：A6（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11
15、，nan+12Sn，bn=(-1)nan，数列bn的前n项和为Tn，则T100（）A0B50C100D2525【解答】解：nan+12Sn，则当n2时，（n1）an2Sn1，得nan+1（n1）an2an，即an+1an=n+1n，易知a2a1=21，又a3a2=32，anan-1=nn-1，an=a1a2a1a3a2anan-1=12132nn-1=n(n2)，又a11满足ann，an=n(nN*)，bn=(-1)nn，b1+b2b3+b4b99+b1001，T10050，故选：B7（5分）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的
16、发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以a2+b2为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭圆C：x24+y2m=1(0m4)的蒙日圆为E：x2+y27，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A椭圆C的离心率为12BM到C的右焦点的距离的最大值为7+1C若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-34DMPQ面积的最大值为72【解答】解：椭圆C：x24+y2m=1(0m4)的蒙日圆
17、为E：x2+y27，根据蒙日圆的定义，4+m7，得m3，椭圆C：x24+y23=1，a24，b23，则c21，椭圆的离心率e=ca=12，故A正确；点M是圆E：x2+y27上的动点，椭圆的右焦点F（1，0），则|MF|的最大值是7+1，故B正确；根据蒙日圆的定义可知MPMQ，则PQ为圆E的直径，PQ与椭圆交于两点A，B，点A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（x1，y1），N（x0，y0），kANkBN=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-34(x02-x12)x02-x12=-34，故C正确；D因为PQ为圆的直径，|PQ|=27，当点M到直线PQ的
18、距离为r=7时，PQM的面积最大，此时最大值是12277=7，故D错误故选：D8（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）9，对任意实数x1，x2都有f(x1+x2)=(910)x2f(x1)+(910)x1f(x2)，若anf（n），则an中的最大项为（）Aa9Ba10Ca8和a9Da9和a10【解答】解：根据题意可得f(x1+x2)=(910)x2f(x1)+(910)x1f(x2)，可得(109)x1+x2f(x1+x2)=(109)x1f(x1)+(109)x2f(x2)，令x1n，x21，而f（1）9，可得(109)n+1f(n+1)=(109)nf(n)+10，(109)
19、n+1f(n+1)-(109)nf(n)=10，(109)n+1an+1-(109)nan=10数列(109)nan是以首项为(109)1a1=1099=10，公差d10的等差数列，(109)nf(n)=10n，an=f(n)=10n(910)n，an+1-an=10(n+1)(910)n+1-10n(910)n=(9-n)(910)n，当n8时，an+1an；当n9时，an+1an；当n10时，an+1an，an中最大项为a9和a10，故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分（多选）
20、9（5分）下列有关数列的说法正确的是（）A数列2021，0，4与数列4，0，2021是同一个数列B数列an的通项公式为ann（n+1），则110是该数列的第10项C在数列1，2，3，2，5，中，第8个数是22D数列3，5，9，17，33，的通项公式为an=2n+1【解答】解：对于选项A，数列2021，0，4与4，0，2021中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以选项A不正确；对于选项B，令an=n2+n=110，解得n10或n11（舍去），所以选项B正确；对于选项C，根号里面的数是公差为1的等差数列，第8个数为8，即22，所以选项C正确；对于选项D，由数列3，5，9，17，33，的前5项可
21、知通项公式为an2n+1，所以选项D正确故选：BCD（多选）10（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为bn，数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，下列说法正确的是（）AT20221348B若Tn2022，则n3033CS1000a10021Da12+a22+a32+a5002a500a501【解答】解：根据斐波那契数列的特征
22、可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列bn为1，1，0，1，1，0，则数列bn为周期数列，且周期为3，所以T2022（1+1+0）6741348，所以A正确因为2022（1+1+0）1011，101133033，且b30311，b30321，b30330，所以n3033或n3032，所以B错误因为S1000a1+a2+a999+a1000a3a2+a4a3+a1001a1000+a1002a1001a1002a2a10021，所以C正确.a12+a22+a32+a5002=a1a2+a22+a32+a5002=a2(a1+a2)+a32+a5002=a2a3+a32+a5002=
23、a499a500+a5002=a500a501，所以D正确故选：ACD（多选）11（5分）已知圆M：（x+1）2+（y+1）24，直线l：x+y20，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（）A四边形MAPB面积的最小值为4B线段AB的最小值为22C当直线AB的方程为x+y0时，APB最小D若动直线l1l，l1且交圆M于C、D两点，且弦长CD(22，23)，则直线l1横截距的取值范围为(2-2，0)(-4，-2-2)【解答】解：圆M：（x+1）2+（y+1）24的圆心M（1，1），半径为r2，可知|MA|MB|2，PAAM，|PA|=|PM|2-4，
24、SMAPB2SAPM=212|AM|PA|=2|PM|2-4，当|PM|取最小值时，四边形MAPB面积取得最小值，此时|PM|=|-1-1-2|12+12=22，所以四边形MAPB面积的最小值为28-4=4，故A正确；又圆心M（1，1）到直线l的距离d=|-1-1-2|12+12=22，所以当SMAPB取得最小值时，SMAPB=12|AB|22，可得|AB|=22SMAPB，故|AB|最小值224=22，故B正确；当直线AB的方程为x+y0时，kAB1，kOM1，则kABkOM1，所以直线AB与直线OM垂直，又O是AB中点，|MA|MB|2，|OM|=2，所以|AB|=2|MA|2-|OM|2
25、=22，则|MA|2+|MB|2|AB|2，所以MAMB，易得四边形MAPB是正方形，此时APB90，而当|PM|4时，直角三角形中sinAPM=24=12，APM30，APB6090，故C错误；设M到直线l1的距离为d1，因为|CD|(22，23)，且14|CD|2=r2-d12，所以d12=r2-14|CD|2，则d1(1，2)，设l1：x+y+m0，所以1|-1+(-1)+m|22，即2|m-2|2，解得m(0，2-2)(2+2，4)，故直线l1的横截距m的取值范围为(2-2，0)(-4，-2-2)，故D正确故选：ABD（多选）12（5分）已知抛物线C：y22px（p0）与圆O：x2+y
26、25交于A，B两点，且|AB|4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A若直线l的斜率为33，则|MN|8B|MF|+2|NF|的最小值为3+22C若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，62），则点M的横坐标为32D若点G（2，2），则GFM周长的最小值为4+5【解答】解：由题意得点（1，2）在抛物线C：y22px 上，所以222p，解得p2，所以C：y24x，则 F（1，0），设直线l：xmy+1，与y24x 联立得y24my40，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y24m，y1y24，所以 |MN|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2
27、)2-4y1y2=4(1+m2)，当m=3 时，|MN|16，故A错误；1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，则|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF|MF|+|MF|NF|3+22，当且仅当 |MF|=1+2，|NF|=1+22 时等号成立，故B正确；如图，过点M作准线的垂线，垂足为M，交 y 轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的
28、定义可得|MM1|MM|M1M|MF|1，所以 |DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|-12=|MF|2，所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以 (0，62) 为圆与 y 轴的切点，所以点D的纵坐标为62，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为6，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为32，故C正确；过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以GFM 的周长为 |MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM|+5|GH|+5=3+5，当且仅当点 M 的坐标为（1，2）时取等号，故D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）经过点P（0，1）作直线l，若直线l与连接A（
29、1，2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围为 0，434，)【解答】解：kPA=-2-(-1)1-0=-1kPB=1-(-1)2-0=1l与线段AB相交，kpAkkpB1k10tan1或1tan0由于ytanx在0，2）及（-2，0）均为减函数直线l的倾斜角的范围为：0，434，)故答案为：0，434，)14（5分）已知数列an为递减数列，其前n项和Snn2+2n+m，则实数m的取值范围是 （2，+）【解答】解：当n1时，a1=S1=-12+2+m=1+m，当n2时，an=Sn-Sn-1=-n2+2n+m-(n-1)2+2(n-1)+m=-2n+3，an+1an2（n+1）
30、+3（2n+3）20，当n2时，an+1an，数列an递减，综上所述，若使an为递减数列，只需满足a2a1，即22+31+m，解得m2，故答案为：（2，+）15（5分）已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的圆心为I，若3IA+5IB+6IF2=0，则该椭圆的离心率是 10521【解答】解：不妨设F1为下焦点，F2为上焦点，延长BI交AF2于D，如图：分别记ABF2，IF2B，IF2A，IAB面积为S，S1，S2，S3，以IF2，IA为基底表示ID=|DF2|AF2|IA+|DA|AF2|IF2=SF2IDS2IA
31、+SAIDS2IF2，又B，I，D三点共线，ID=SAIDS3BI，SF2IDSAID=S1S3，SAIDS3BI=SF2IDS2IA+SAIDS2IF2S2IB+S3IF2+SF2IDS3SAIDIA=0S1IA+S2IB+S3IF2=0，由内心的性质知，S1：S2：S3BF2：AF2：AB3：5：6，不妨令BF26，AF210，AB12，由椭圆的第一定义4a28a7，且BF18，在ABF2中，余弦定理得cosB=59，sinB=2149，tanB2=sinBcosB+1=27，SF1BF2=b2tanB2=12BF1BF2sinBb2=1123，e2=1-b2a2=521，e=10521故
32、答案为：1052116（5分）如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足ABAD，CBCD，BABC+2DADC=0，若点A，C分别为椭圆E：x28+y2b2=1（b0）的上、下顶点，点B在椭圆E上，点D不在椭圆E上，则椭圆E的焦距为 4【解答】解：由题意得A（0，b），C（0，b），设B（x1，y1），D（x2，y2），连接BD，如图所示：ABAD，CBCD，A，B，C，D在以BD为直径的圆M上，且ABC+ADC，又原点O为圆M的弦AC的中点，则圆心在AC的垂直平分线上，即在x轴上，则y1+y20，又BABC+2DADC=0，则|BA|BC|cosABC+2|DA|DC|cosAD
33、C=0，ABC+ADC，cosABC+cosADC0，(|BA|BC|-2|DA|DC|)cosADC=0，当cosADC0时，则|BA|BC|-2|DA|DC|=0，若cosADC0时，则四边形ABCD为矩形，则点D也在椭圆E上，与点D不在椭圆E上矛盾，SABC2SADC，x12x2，故圆M的圆心坐标为(x14，0)，圆M的方程为(x-x14)2+y2=916x12+y12，将（0，b）代入得b2=12x12+y12，又x128+y12b2=1，解得b24，故椭圆E的焦距为28-b2=4，故答案为：4四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17半径为3的圆C过点A（1，1
34、），圆心C在直线y2x上且圆心在第一象限（1）求圆C的方程；（2）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程【解答】解：（1）圆心C在直线y2x上且圆心在第一象限，可设圆心为C（a，2a）（a0），半径为3的圆C过点A（1，1），r=|CA|=(a-1)2+(2a+1)2=5a2+2a+2=3，解得a1，故圆C的方程为（x1）2+（y2）29；（2）（41）2+（32）29，点（4，3）在圆外，切线斜率不存在时，切线方程为x4，圆心到直线的距离为d413r，满足条件，切线斜率存在时，设切线l：y3k（x4），即kxy4k+30，则圆心到切线的距离d=|k-2-4k+3|k2+1=3，解得k=-4
35、3，则切线的方程为4x+3y250，综上所述，切线的方程为x40或4x+3y25018已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2+4y24的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB-sinA=12sinC（1）求线段AB的长度；（2）求顶点C的轨迹方程【解答】解：（1）椭圆的方程为x2+4y24，椭圆的方程为x24+y2=1，a2，b1，c=3，A，B分别为椭圆x24+y2=1的左焦点和右焦点，A(-3，0)，B(3，0)，|AB|=23，线段AB的长度23；（2）ABC中根据正弦定理得：|AB|sinC=|BC|sinA=|AC|sinB=2R（R为ABC外接圆半径），sinA=
36、|BC|2R，sinB=|AC|2R，sinC=|AB|2R，sinB-sinA=12sinC，|AC|2R-|BC|2R=12|AB|2R，|AC|-|BC|=12|AB|=3|AB|=23C点的轨迹是以A，B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，设该双曲线方程为x2a12-y2b12=1(xa1)则|AC|-|BC|=3=2a1，|AB|=23=2c1，a1=32，c1=3，b12=c12-a12=94，顶点C的轨迹方程为4x23-4y29=1(x32)19已知数列an满足a1+3a2+5a3+（2n1）an3n（1）求an；（2）若对任意的nN*，an（1）n恒成立，求的取值范围【解
37、答】解：（1）当n1时，a13；当n2时，a1+3a2+5a3+（2n3）an13n1，又a1+3a2+5a3+（2n3）an1+（2n1）an3n，上述两式作差可得（2n1）an3n3n123n1，即an=23n-12n-1，a13不满足an=23n-12n-1，所以an=3，n=123n-12n-1，n2；（2）当n2时，an+1an=8(n-1)3n-1(2n-1)(2n+1)0，即an+1an，所以，数列an从第二项开始为递增数列，对任意的nN*，an（1）n恒成立，若n为正奇数，则an，a13a3=185a5，则3，可得3；若n为正偶数，则an2，可得a22综上所述，3220如图，已
38、知点A，B，C是抛物线x2y上的三个不同的点，且ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形（）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标；（）求三角形ABC的面积的最小值【解答】解：（1）直线BC的斜率为1，直线BC的倾斜角为45，即CBx45，又ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，ACB45CBx，直线AC与x轴平行，由抛物线的对称性知，点B为原点，B（0，0）（2）由对称性知，不妨设点B在y轴的右侧（包括y轴），且A（x1，y1），C（x2，y2），B（t，t2），则x10tx2，设直线BC的斜率为k（k0），则直线AB的斜率为-1k，直线BC的方程为yt2k（xt），联立y-t2=k(x-
39、t)x2=y，得x2kx+ktt20，x2+tk，x2tktt2，|BC|=1+k2（x2t）=1+k2（k2t），同理可得，|AB|=1+(-1k)2|-1k-2t|=1+1k2（1k+2t），|AB|BC|，1+1k2（1k+2t）=1+k2（k2t），化简可得，t=k3-12k(k+1)，ABC的面积S=12|AB|BC|=12（1+k2）（k2t）2=12（1+k2）k2k3-12k(k+1)2=12（1+k2）k2+1k(k+1)2=(k2+1)22k2k2+1(k+1)2(2k)22k2(k+1)22(k+1)2=1，当且仅当k1时，等号成立，故三角形ABC的面积的最小值为121已
40、知数列an的前n项和为Sn，且满足a11，当n2（nN*）时，(n-1)Sn-(n+1)Sn-1=13(n3-n)（1）计算：a2，a3；（2）证明Snn(n+1)为等差数列，并求数列an的通项公式；（3）设bn=tanan，求数列bn+1bn的前n项和Tn【解答】解：（1）令 n2，得 S23S12，又 a1S11，所以 a24，令 n3，得 2S34S28，又 S25，a39；证明：（2）因为当 n2（nN*） 时，(n-1)Sn-(n+1)Sn-1=13(n3-n)，所以 Snn(n+1)-Sn-1(n-1)n=13，所以数列 Snn(n+1) 为等差数列，首项为 S12=12，公差为
41、13，所以 Snn(n+1)=S12+13(n-1)=13n+16，所以 Sn=16n(n+1)(2n+1)，于是，当 n2（nN*） 时，an=Sn-Sn-1=16n(n+1)(2n+1)-16(n-1)n(2n-1)=n2，当 n1 时，a1S11，满足上式，故 an=n2；（3）因为 bn=tanan=tann，则 bn+1bn=tan(n+1)tann=tan(n+1)-tanntan1-1，于是，Tn=1tan1(tan2-tan1)-1+1tan1(tan3-tan2)-1+1tan1(tan(n+1)-tann)-1=1tan1tan(n+1)-tan1-n=tan(n+1)ta
42、n1-n-122设椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点F1，F2分别是双曲线x24-y2=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为2105（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题意得点F1（2，0），F2（2，0），所以a2b24，因为椭圆的右顶点（a，0）到双曲线的渐近线y=12x的距离d=11+1412a=2105解得a28，b24，故椭圆E的标准方程为x28+y24=1；（2）当直线AB的斜率存在时，设
43、直线AB的方程为ykx+m，联立ykx+m与x28+y24=1可得（1+2k2）x2+4kmx+2m280，由16k2m24（1+2k2）（2m28）0可得8k2m2+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-81+2k2，y1y2（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，因为OAOB，所以OAOB=x1x2+y1y2（1+k2）2m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m20，整理得3m28+8k28，代入到8k2m2+40，可得m22，所以m283，故m263或m-263，因为原点到直线ykx+m的距离d
44、=|m|1+k2=|m|3m28=263，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB，该圆的半径为d=263，故该圆的方程为x2+y2=83；当直线AB的斜率不存在时，此时直线AB的方程为x=263与已知椭圆的交点为（263，263），（263，-263）或（263，263），（-263，-263），此时OAOB，满足题意；综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OAOB；因为|AB|=1+k2(-4km1+2k2)2-42m2-81+2k2=1+k2228k2-m2+41+2k2=6m4-2m23m24-1，令t=3m23-1，则m2=4+4t3，代入上式可得|AB|=63-8t2+8t+16=433-(1t-12)2+94，因为m283所以t1，01t1，故当1t=12，即t2时|AB|取得最大值23，又|AB|=63-8t2+8t+16=433-(1t-12)2+94433-(1-12)2+94=463，所以463|AB|23，当直线AB的斜率不存在时，|AB|2263=463，故|AB|的取值范围为463，23
