1、广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集U=R，集合A=x|0x2，B=x|x1，则集合U（AB）=（）A（，2B（，1C（2，+）D2，+）2（5分）复数z=（1+i）（1i）在复平面内对应的点的坐标为（）A（1，0）B（2，0）C（0，1）D（0，2）3（5分）若向量=（2，1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A（1，2）B（1，2）C（2，1）D（0，2）4（5分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则=（）ABC
2、D5（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）AabcBacbCbacDbca6（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD27（5分）已知数列an是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A2B2CD428（5分）若函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且x1，1时，f（x）=1x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为（）A7B8C9D10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）若不等式|x+1|+|
3、x2|a恒成立，则a的取值范围是10（5分）曲线y=x3+3x2在x=1处的切线方程为11（5分）已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是13（5分）二项式（ax2）5的展开式中常数项为160，则a的值为14（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知函数f（x）=2cos（x），xR
4、（1）求f（）的值；（2）若f（+）=，（，0），求f（2）的值16（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望17（13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求二
5、面角BAC=A1的余弦值18（14分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，且2Sn=an+2n2（nN*）（1）求an，Sn；（2）若ak，a2k2，a2k+1（kN）是等比数列bn的前三项，设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn，求Tn19（14分）已知椭圆+=1（ab0）经过点P（，），离心率为，动点 M（2，t）（t0）（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 O M（ O为坐标原点）为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作 O M的垂线与以 O M为直径的圆交于点 N，证明线段 O N的长为定值，并求出这个定值20（14分）已知函数f
6、（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集U=R，集合A=x|0x2，B=x|x1，则集合U（AB）=（）A（，2B（，1C（2，+）D2，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出A与B的并集，找出并集的补集
7、即可解答：解：A=（0，2，B=（，1），AB=（，2，全集为U=R，U（AB）=（2，+）故选：C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）复数z=（1+i）（1i）在复平面内对应的点的坐标为（）A（1，0）B（2，0）C（0，1）D（0，2）考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简z，可得复数z在复平面内对应的点的坐标解答：解：由于复数z=（1+i）（1i）=1i2=2，故此复数对应点的坐标为（2，0），故选：B点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i
8、的幂运算性质，属于基础题3（5分）若向量=（2，1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A（1，2）B（1，2）C（2，1）D（0，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：求出向量+，验证各选项是否满足x1x2+y1y2=0，从而判定向量是否与+垂直解答：解：向量=（2，1），=（0，2），+=（2，1），对于A，21+1（2）=0，该向量与向量+垂直；可以排除掉B、C、D选项故选：A点评：本题考查了平面向量的垂直问题，两向量垂直，有=0x1x2+y1y2=0，解题时应灵活地运用，是基础题4（5分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图
9、象如图所示，则=（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值解答：解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据= 求得=2再根据五点法作图可得2+= 可得 =，故选：D点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题5（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）AabcBacbCbacDbca考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数、对数函数的单调性即可得出解
10、答：解：a=40.11，b=log30.10，0c=0.50.11，acb故选：B点评：本题考查了指数函数、对数函数的单调性，属于基础题6（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，把数据代入棱柱与半圆柱的体积公式计算解答：解：由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V=22+122=2+故选D点评
11、：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键7（5分）已知数列an是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A2B2CD42考点：等比数列的性质；定积分 专题：等差数列与等比数列分析：求定积分可得a2013+a2015=，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得解答：解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=22=，a2014
12、（a2012+2a2014+a2016）=a2014a2012+2a2014a2014+a2014a2016=+2a2013a2015=（a2013+a2015）2=2故选：A点评：本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题8（5分）若函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且x1，1时，f（x）=1x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为（）A7B8C9D10考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：由题意可判断函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，从而作出函数f（x）与g（x）的图象，从而得到交
13、点的个数即可解答：解：f（x+1）=f（x），f（x）=f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为8个故选B点评：本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用，属于基础题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）若不等式|x+1|+|x2|a恒成立，则a的取值范围是a3考点：绝对值不等式 专题：计算题分析：求出绝对值的表达式的最小值，即可求出a取值范围解答：解：因为|x+1|+|x2|的几何意义是数轴上的点到1，与到2的距离之和，显然最小
14、值为3，所以a的取值范围是：a3故答案为：a3点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力10（5分）曲线y=x3+3x2在x=1处的切线方程为3xy1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：根据导数的几何意义求出函数y=f（x）在x=1处的导数，即是改点处切线的斜率，从而写出切线的方程解答：解：y=f（x）=x3+3x2，y=f（x）=3x2+6x，y|x=1=（3x2+6x）|x=1=312+61=3，又x=1时，y=f（1）=13+312=2；曲线y=f（x）=x3+3x2在x=1处的切线方程为y2=3（x1），即3xy1=0；故答案为：3
15、xy1=0点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程问题，是基础题11（5分）已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为2考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p解答：解：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，因为抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系属于基础题12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9考点：简
16、单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A，y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+24=9即目标函数z=x+2y最大值为9故答案为：9点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值13（5分）二项式（ax2）5的展开式中常数项为160，则a的值为2考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等
17、于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值解答：解：由通项公式 Tr+1=，令10=0，求得r=4，可得常数项为（2）4Ca=160，解得a=2，故答案为：2点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为472（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题；排列组合分析：利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决解答：解：
18、由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有4=5601672=472种故答案为：472点评：本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知函数f（x）=2cos（x），xR（1）求f（）的值；（2）若f（+）=，（，0），求f（2）的值考点：余弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值；（2）由已知化简可先求得sin，从而可求cos=，将f（2）=2cos（2）用两角差的
19、余弦公式展开后代入即可求值解答：解：（1）f（）=2cos（）=2cos=（2）f（+）=2cos（）=2sin=，sin（，0），cos=f（2）=2cos（2）=cos2+sin2=点评：本题主要考察了特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题16（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的1
20、2人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”的概率（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和的期望E解答：（本小题满分13分）解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，（2分）设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”，
21、则P（A）=1=（5分）答：至少有1人成绩是“优良”的概率为（6分）（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3.（7分）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=（11分）所以的分布列为0123P的期望E=（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用17（13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求二面角BAC=A1的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题 专题：空间位置关系与距离
22、；空间向量及应用分析：（）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出A1AB为正三角形，从而得到A1OAB，由CA=CB，得到COAB，由此能够证明ABA1C（）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角BAC=A1的余弦值解答：（）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，AB=AA1，BAA1=60，A1AB为正三角形，A1OAB，CA=CB，COAB，COA1O=O，AB平面COA1，A1C平面COA1，ABA1C（）解：AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，BAA1=60，CO=A1O=，A1C=，=，OCA1O，OC
23、AB=O，A1O平面ABC，建立如图空间直角坐标系Oxyz，O（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos=二面角BAC=A1的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用18（14分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，且2Sn=an+2n2（nN*）（1）求an，Sn；（2）若ak，a2k2，a2k+1（kN）是等比数列bn的前三项，设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn，求Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列
24、分析：（1）由已知条件求出a1=2，a2=4，从而得到公差d=a2a1=2，由此能求出an，Sn（2）由ak，a2k2，a2k+1（kN）是等比数列bn的前三项，求出k=4，从而得到anbn=，由此利用错位相减法能求出Tn解答：解：（1）an为等差数列，且2Sn=an+2n2（nN*），设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，2（2+a2）=a2+24，解得a2=4，d=a2a1=42=2，an=2+2（n1）=2n，=n（n+1）（2）ak，a2k2，a2k+1（kN）是等比数列bn的前三项，4（2k2）2=2k2（2k+1），整理，得2k29k+4=0，
25、解得k=4或k=（舍），a4，a6，a9成等比数列，且q=8（）n1，anbn=2n8（）n1=，Tn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn，1+2+3+n，=1+2+3+n，得=+（）2+（）3+（）nn（）n+1=n（）n+1=3216（n2），Tn=点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用19（14分）已知椭圆+=1（ab0）经过点P（，），离心率为，动点 M（2，t）（t0）（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 O M（ O为坐标原点）为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作
26、O M的垂线与以 O M为直径的圆交于点 N，证明线段 O N的长为定值，并求出这个定值考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）把点代入椭圆方程可得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，可得圆的标准方程；由于以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线3x4y5=0的距离d，利用弦长公式可得弦长=2即可得出（3）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K直线OM的方程为，直线FN的方程为，联立解得K坐标，可得|OK|，|OM|，利用|ON|2=|OK|OM|即可证明方法二：设N（x0，y
27、0），则，利用，可证为定值解答：（1）解：由题意得，椭圆经过点，又a2=b2+c2由解得a2=2，b2=c2=1椭圆的方程为（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2，圆心到直线3x4y5=0的距离，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=5t，解得t=4，或又t0，故t=4所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K直线OM的方程为，直线FN的方程为由，解得，故；又线段ON的长为定值方法二：设N（x0，y0），则，2（x01）+ty0=02x0+ty0=2又，x0（x02
28、）+y0（y0t）=0为定值点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（
29、）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（）先把f（x0）g（x0）成立转化为h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h
30、（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ III）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最大值小于零（9分）由（）可知即1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值
