1、高考资源网（） 您身边的高考专家第6讲 空间角一、选择题1在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为()A30 B45 C60 D75解析：作AOBD，就是求AOP.AO= ，tan AOP= .答案：A2(2009广西北海模拟)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值()A. B. C. D.解析：如图所示，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，-1,0)，D(-1，-1,0)，S(0,0，)，E ，AE、SD所成的角的余弦值为，故选C项答案：C3(2010改编题)如图所示，正三棱锥ABCD中，E在棱AB
2、上，F在棱CD上，并使(0)，设为异面直线EF与AC所成的角，为异面直线EF与BD所成的角，则的值为()A. B.C. D与有关的变量解析：过E作EGBD，连结FG，则FGAC，如图所示，+=EFG+GEF.又此三棱锥为正三棱锥，EGF=，从而+=，故选C项答案：C4已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析：如图所示，可设底面边长与侧棱长为1个单位长度，因为A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，所以三棱锥A1-ABC为正四面体，所以A1到底面ABC的距离为，所以B1到底面距
3、离为，易知ABB1=120，所以AB1=，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为答案：B二、填空题5(2009上海卷)如图所示，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_(结果用反三角函数值表示)解析：连结D1C，ADBC，D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角在RtBCD1中，BC=2，CD1=2，tanD1BC，D1BCarctan.答案：arctan 6(2009四川卷)如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_解析：设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2C
4、2(如图)平移AB1至A2B，连结A2M，MBA2即为AB1与BM所成角，在A2BM中，A2B=a，BM=，A2M=A2B2+BM2=A2M2，MBA2=90.答案：907(2010湖北孝感调研)正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0,a,0)，C(-a,0,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n=(0,1,1)，直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.答案：30三、解答题8(2009乌鲁木齐诊
5、断三)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，且PAACBC.(1)求侧棱PB与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面PAB与侧面PBC所成角的大小解：解法一：(1)PA底面ABC，PBA就是侧棱PB与底面ABC所成角在RtACB中，ACBC，ABBC.在RtPAB中，tanPBA，PBA30.即侧棱PB与底面ABC所成角的大小为30.(2)在题图中过点C作CDAB于点D，取PB的中点E，连接DE、CE.PA底面ABC，面PAB底面ABC，而面PAB底面ABCAB.CD面PAB.在RtPAC中，PAAC，PCBC.由PA底面ABC，ACBC，可得PCBC，于是PCB是等腰直角三角
6、形CEPB，CEPBBC，又由CD面PAB，得DEPB.CED就是侧面PAB与侧面PBC所成二面角的平面角在RtACB中，CDBC，在RtCDE中，sinCED.侧面PAB与侧面PBC所成角的大小为arcsin.解法二：过点C作CzPA，如图所示建立直角坐标系C-xyz，设BC=2.则C(0,0,0),A(,0, 0),B(0, 2, 0),P(,0, )(1)由PA底面ABC，得底面ABC的一个法向量为设侧棱PB与底面ABC所成角为，侧棱PB与底面ABC所成角的大小为30.(2)设平面PAB的法向量为n=(m，n，p)，则nAP=0且nBP=0.于是令n=，则m=2，n=(2，,0)设平面P
7、BC的法向量为m=(x，y，z)，则mCB=0且mBP=0，于是令x=1，则z=-1，m=(1,0，-1)设侧面PAB与侧面PBC所成角的大小为，侧面PAB与侧面PBC所成角的大小为arccos.9(2010山西临汾调研)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，PAD为正三角形，O为AD的中点，POAB，E为棱PC的中点(1)求证：PA平面EBD；(2)求二面角EBDC的大小解：(1)证明：设H为AC与BD的交点，连接EH，则EH为PAC的中位线，EHPA，又EH平面EBD，PA平面EBD，PA平面EBD.(2)解法一：O为AD的中点，PA=PD，POAD，
8、又POAB，PO平面ABCD，连接CO交BD于Q，POCO，过E作EFCO于F，EFPO，EF平面ABCD，过F作FGBD于G，连接GE，则EGBD，EGF为二面角E-BD-C的平面角DOBC，所以PO=EF=解法二：以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，由已知，B(0，,0)，D(-1，0,0)，C(-2，,0)，E，DB(1，0)，.设n(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，令x，则平面BDE的一个法向量n(，1,1)，易知平面ABCD的一个法向量为OP(0,0，)cos .arccos即为所求10(2009湖北黄冈、宜昌、襄樊、孝感、荆州五市联考)如图甲，直角梯形ABCD中，ABCD
9、，DAB，点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)(1)求证：AB平面DNC；(2)当DN的长为何值时，二面角DBCN的大小为30？证明：证法一：(1)MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMB=M，且MA、MB平面MAB.(2)解：过N作NHBC交BC延长线于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MBCN，从而DHBC，DHN为二面角D-BC-N的平面角由MB=4，BC=2，MCB=90知MBC=60，CN=4-2cos 60=3，NH=3s
10、in 60=.由条件知：tanNHD=，DN=即当DN=时，二面角D-BC-N为30.证法二：如图所示，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系N-xyz易得NC=3，MN=，设DN=a，则D(0,0，a)，C(0,3,0)，B(,4,0)，M(,0,0)，A(,0，a)(1)证明：ND，NC平面DNC，且NDNC=N，与平面DNC共面，又AB平面DNC，AB平面DNC.(2)解：设平面DBC的法向量n1=(x，y，z)，n1=.又平面NBC的法向量n2=(0,0,1)又a0，a=.即DN=.当DN=时，二面角D-BC-N为30.1()已知二面角
11、a的大小为，直线AB，直线CD，且ABa，CDa，若AB与CD所成的角为，则()A0 B C D解析：根据二面角平面角的定义，可得直线AB、CD所成的角与二面角平面角相同或互补，根据二面角大小，而两直线所成的角的范围是锐角或直角，所以与互补，即.答案：D2(2010创新题)二面角a的平面角为120，在面内，ABa于B，AB2，在面内，CDa于D，CD3，BD1，M是棱a上的一个动点，则AMCM的最小值为_解析：如图所示，将二面角-a-压成平面，使C移动至与A在一个平面内，则AM+CM的最小值即为AC，过点A作ANa，延长CD与直线AN相交于点N，则AN=BD=1，DN=AB=2，CD+DN=3+2=5，即AM+CM的最小值为.答案：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 10 - 版权所有高考资源网
