1、3.2立体几何中的向量方法第三课时空间向量与空间角、空间距离填一填1.空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，2.空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d|AB|点面距设平面的法向量为n，B，A，则B点到平面的距离d判一判1.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()2若向量n1
2、，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()3直线与平面所成角的范围为.()4平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度()5直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()6若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()7直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角()8二面角l的大小为，平面，的法向量分别为n1，n2，则n1，n2()想一想1.若二面角l的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2的关系相等或互补2利用
3、向量法求空间角时，关键需找到哪些量？关键要找到直线的方向向量与平面的法向量3几何度量中最基本的距离是什么？两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离思考感悟：练一练1已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为()A30 B60C120 D150答案：A2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45 B135C45或135 D90答案：C3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C
4、 D.答案：A4已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10 B3C. D.答案：D知识点一两异面直线所成的角1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的
5、角的余弦值为.答案：C2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12a，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设ABa，则ADa，AA12a，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，(0，a，a)，(0，a,2a)，cos，.答案：C知识点二直线和平面所成的角3.设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A. B.C. D.解析：如图所示，直线l与平面所成的角.答案：C4在正方体ABCDA1
6、B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E，F，B1(1,1,1)，(0,1,0)，.设平面A1EF的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，.设A1B1与平面A1EF的夹角为，则sin cosn，即所求线面角的正弦值为.答案：B知识点三二面角5.已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：如图，连接AC，ACBDO，连接O
7、F，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D，结合图形可知，且为平面BOF的一个法向量，可求得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.答案：D6如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，EBD60，则二面角FBED的余弦值为_解析：DA，DC，DE两两垂直，可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示EBD60，由AD3，知BD3，DE3，AF.则A(3,0,0)F(3,0，)，E(0,0，3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，(0，3，)，(3,0，2)
8、设平面BEF的法向量为n(x，y，z，)，则即令z，则n(4,2，)为平面BEF的一个法向量连接AC，DE平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC.ABCD是正方形，ACBD.又BDDED，AC平面BDE，平面BDE的一个法向量为(3，3,0)，cosn，.由图可知二面角FBED为锐角，二面角FBED的余弦值为.答案：知识点四空间距离7.已知三棱锥OABC，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为()A. B.C. D3解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，(1,2,0)，(0
9、，2,2)，|，.点A到直线BC的距离d.答案：B8已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()A. B.C. D.解析：以D点为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,2,4)，(2,0,4)，设n(x，y，z)是截面AB1D1的一个法向量，由得取z1，则n(2，2,1)，点A1到截面AB1D1的距离d.答案：C基础达标一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错解析：设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 12
10、0|，又090，30.答案：C2若二面角l的大小为120，那么平面的法向量与平面的法向量的夹角为()A120 B60C120或60 D30或150解析：二面角为120时，其法向量的夹角可能是60，也可能是120.答案：C3已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A. BC. D解析：(2，2，1)，(2，3，3)，而cos，故直线AB和CD所成角的余弦值为.答案：A4若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A. B2C. D.解析：由已知可得A(1,1，2)，
11、B(3,2,8)，于是P，又C(0,1,0)，故|.答案：D5在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45C60 D90解析：建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，cos，n，n120，斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，斜线PC与平面ABCD所成角为30.答案：A6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：由正方体的性质易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距
12、离可转化为点B到平面AB1D1的距离显然A1C平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)又A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离da.答案：D7在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A. BC. D解析：取AC的中点为E，连接BE，则BEAC，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，则，平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEA
13、C，BE平面ABC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量设AD与平面AA1C1C所成角为，cos，又，sin |cos，|.答案：A8如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成的二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(6,0,6)，D(0,0,0)，C1(0,6,6)，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的一个法向
14、量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面A1DE与平面C1DF所成的二面角的余弦值为.故选B.答案：B二、填空题9如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为，则cos _.解析：设正方形ABCD的边长为2，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，则(2,2,0)，(1,2，1)，所以cos .答案：1
15、0正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如右图所示空间直角坐标系，设BC1，则A，B，D.为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案：11.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，则A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角
16、的正弦值为.答案：12棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到平面EFD1B1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系则D1(0,0,0)，F，E，B1(1,1,0)，D(0,0,1)，(1,1,0)，则可求得平面EFD1B1的法向量为n.又(0,0,1)，d.答案：三、解答题13.如图，已知ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，求BD1与AF1所成角的余弦值解析：如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CBCACC11，则A(1,0,0
17、)，B(0,1,0)，D1，F1，则，.故|，|，则cos，.于是BD1与AF1所成角的余弦值为.14已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0，)，M，C1，B(0，a,0)，故，.设平在AMC1的法向量为n(x，y，z)则令y2，则z，x0.n.又，cos，n.设BC1与平面AMC1所成的角为，则sin |cos，n|.能力提升15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且A
18、PBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解析：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，因此CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由可得
19、取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.因此所求的角为60.16如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且侧棱AA1底面ABC，侧棱长是，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值解析：(1)证明：如图，设A1B与AB1相交于点P，连接PD，则P为AB1的中点又D为AC的中点，PDCB1.又PD平面A1BD，CB1平面A1BD，B1C平面A1BD.解法一(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AA1BD.又BDAC，BD平面AA1D，A1DBD，A1DA是
20、二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA，A1DA60，即二面角A1BDA的大小是60.(3)作AMA1D于点M，由(2)知BD平面AA1D，BDAM.又A1DBDD，AM平面A1DB.连接MP，则APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角在RtA1AD中，AA1，AD1，A1DA60，AM.又APAB1，sinAPM，直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值为.(1)同上解法二：(2)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1,0，)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取n(，0,1)，由题意，知(0,0，)，是平面ABD的一个法向量，cosn，即二面角A1BDA的大小是60.(3)由(2)，得(1，)，又n(，0,1)为平面A1BD的一个法向量，则cos，n.直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值为.
