1、第2课时一元二次不等式及其解法(2)教材要点要点一二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0(a0)的解集_x|xb2aRax2bxc0(a0)的解集_状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程ax2bxc0的解；画出对应函数yax2bxc的图象简图；由图象得出不等式的解集对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解
2、题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x p)(x q)0，则xq或xp；若(x p)(x q)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”要点二分式不等式的解法(1)fxgx0_；(2)fxgx0_基础自测1.不等式x2x0Bx|x2或x0Dx|0x1的解集为()Ax|x1Bx|0x1Dx|x03关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集是空集的条件是()Aa00Ba00Ca0Da01.方法归纳(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意
3、分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解跟踪训练1(1)不等式x+61x0的解集为()Ax|6x1Bx|x1或x6Cx|6x1Dx|x1或x6(2)不等式x+1x22的解集为_题型2不等式恒成问题角度1在R上恒成立问题例2一元二次不等式2kx2kx380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()Ak|3k0Bk|3k0Ck|3k0Dk|3k0角度2在给定范围内的恒成立问题例3设函数ymx2mx1.(1)若对于一切实数x，y0恒成立，求m的取值范围；(2)对于xx|1x3，ym5恒成立，求m的取值范围方法归
4、纳一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法(1)在R上恒成立问题ax2bxc0(a0)恒成立a0ax2bxc0(a0)恒成立a00(2)在给定区间上的恒成立问题方法一：a0时，ax2bxc0在xx|x上恒成立yax2bxc在x，x时的函数值同时小于0.a0时，ax2bxc0在xx|x上恒成立yax2bxc在x，x时的函数值同时大于0.方法二：分离参数，转化为函数的最值问题跟踪训练2(1)设a为常数，xR，ax2ax10，则a的取值范围是()Ax|0a4Bx|0a4Cx|a0Dx|a4(2)若对于任意xm，m1，都有x2mx10成立，则实数m的取值范围是_题型3简单的高次不等式的解法例4(1)不
5、等式x2+5x6x10的解集为()A(1，23，+ B.6，11，+C3，1)2，+ D.6，+(2)不等式x23x+2x42x+30的解集为()Ax|3x1或x2Bx|x3或1x2Cx|x4或3x1或x2Dx|x4或x0的解法：穿线法注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点跟踪训练3(1)不等式x1x的解集是()A(1，)B(，1)1，+C(1，0)1，+D(，1)0，1(2)不等式3x42x+1x120的解集为_易错辨析解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误例5不等式x+1x120的解集为()Ax|x1Bx|1x1Cx|x1且x1Dx|x1或x1解析：(x1)20，原不等式等
6、价于x+10x10，解得x1且x1.故选C.答案：C易错警示易错原因纠错心得忽视了(x1)20，只认为(x1)20，原不等式等价于x10，解得x1，错选A.解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”课堂十分钟1不等式x2x+10的解集为()Ax|x1Bx|x2Cx|2x1Dx|1x0，则AB()Ax|x2Bx|x2Cx|x0Dx|x03不等式3x12x1的解集为()Ax|34x2Bx|34x2Cx|x24不等式2x2kxk0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为()A(8，0) B(0，8)C(，8)0，+ D.，08，+5若不等式(1a
7、)x24x60的解集为x|3x1(1)解不等式2x2(2a)xa0；(2)ax2bx30的解集为R，求b的取值范围第2课时一元二次不等式及其解法(2)新知初探课前预习要点一x|xx2x|x1x0基础自测1解析：不等式x2x0等价于x(x2)0，0x2，则不等式x2x0的解集是x|0x11x101xx0x(1x)0x(x1)00x1，所以原不等式的解集为x|0x00对任意实数x恒成立，所以a240，解得2a2，即实数a的取值范围是(2，2)答案：(2，2)题型探究课堂解透例1解析：(1)原不等式可化为x12x+60，(x1)(2x+6)02x+603x1x3，即3x1.故原不等式的解集为x|30
8、.x1x+2x+20，3x+20，则x2.故原不等式的解集为x|x2跟踪训练1解析：(1)原不等式变为：x+6x10(x6)(x1)0且x10.解得6x1，故原不等式的解集为x|6x1故选C.(2)移项得x+1x220，即x5x20，此不等式等价于(x5)(x2)0且x20，解得x2或x5.故原不等式的解集为x|x2或x5答案：(1)C(2)x|x2或x5例2解析：2kx2kx380为一元二次不等式，k0，又2kx2kx380对一切实数x都成立，则必有2k0=k242k(38)0解得3k0.答案：D例3解析：(1)若m0，显然10恒成立；若m0，则m0，=m2+4m04m0.m的取值范围为m|
9、4m0(2)ym5恒成立，即m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m6x2x+1.函数y6x2x+16x122+34在1x3时的最小值为67.只需m67即可m的取值范围为m|m0恒成立，即a0时满足题意；当a0时，则有a0a24a0，解得0a4，综上得a的取值范围是x|0a4故选B.(2)作出二次函数yx2mx1的草图，对于任意xx|mxm1，都有x2mx10，则m2+m210，m+12+mm+110，解得22m0.答案：(1)B(2)m|22m0例4解析：(1)由x2+5x6x10，解得x6且x1，所以不等式的解集为6，1)1，+(2)x23x+2x42x+30，即x+30x+3x23x
10、+2x420，即x+30x+3x1x2x420，当x4时不等式成立，又(x4)20恒成立，不等式x+30x+3x1x20，利用穿针引线画出y(x3)(x1)(x2)的简图如图所示：解得此不等式的解集为x|x3或1x2，故原不等式的解集为：x|x4或x1x，所以x1xx21x0，所以x(x21)x(x1)(x1)0.画出示意图如图所以解集为(1，0)1，+故选C.(2)(x1)20，所以不等式3x42x+1x120，等价于x103x42x+10，即x112x43，解得：12x1或1x0等价于(x2)(x1)0，解得x2或x0的解集为x|x2答案：B2解析：xx+20xx+20x+202x0，Ax|20，ABx|x2答案：B3解析：不等式3x12x1可化为4x32x0，即(4x3)(x2)02x0解得：x34或x2，故不等式的解集为x|x34或x2.答案：D4解析：2x2kxk0对于一切实数恒成立，(k)242(k)k28k0，得8k0的解集为x|3x0为2x2x30，解得x32，即不等式2x2(2a)xa0的解集为x|x32；(2)代入a3，不等式ax2bx30为3x2bx30，3x2bx30的解集为R，b24330，解得6b6.
