1、易错点12 函数的单调性、极值和最值问题一、单选题1. 函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调增区间是A. -32,-1和-12,+B. -32,-3-54和-3+54,+C. -,-1和-12,+D. -32,-1和-3+54,+2. f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为A. 2B. 6C. 2或6D. 13. 函数f(x)=lnx+ax有小于1的极值点，则实数a的取值范围是A. 0,1B. -,-1C. -1,0D. (-,-1)(0,+)4. 设函数f(x)=ex(x-1)，函数g(x)=mx-m(m0)，若对任意的x1-2,2，总存在x2-2,2，使得f(x1
2、)=g(x2)，则实数m的取值范围是A. 1e2,13B. 13,e2C. 13,+)D. e2,+)5. 下列说法正确的是A. 若p：x0，sinx1，则p:x01B. 命题“已知x,yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C. “x2+2xax在x1,2上恒成立”“(x2+2x)min(ax)min在x1,2上恒成立”D. 函数y=x2+9+1x2+9(xR)的最小值为2二、单空题6. 已知f(x)=13x3+m2x2-6x+1在(-1,1)单调递减，则m的取值范围为_7. 已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(aR,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1，x2，x3，使得
3、f(x1)0，f(x2)0，f(x3)0，则a的最小值是_8. 已知函数f(x)=lnx+ax2-4在x=12处取得极值，若m,n14,1，则f(m)+f(n)的最大值是_9. 已知函数f(x)的定义域为-1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数y=f(x) 的图象如图所示.下列关于f(x)的命题：x-1045f(x)1221函数f(x)的极大值点为0，4；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；函数y=f(x)与y=a的交点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是_三、解答题10. 已知函数fx=13x3+mx2+nx+3，其
4、导函数fx的图象关于y轴对称，f1=-23()求实数m，n的值；()若函数y=fx-的图象与x轴有三个不同的交点，求实数的取值范围11. 已知函数f(x)=13x3+2ax2+bx，且f(x)在x=3处取得极值-36(1)求曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程；(2)求f(x)在-3,6上的最大值和最小值12. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面菱形ABCD的两对角线的交点为O，AC=4，BD=2，且SB=SD，SA=SO=2，E为AO的中点(1)证明：SEAB；(2)设P为截面SAC上的动点，满足AP=2tAC-tsintAS(0t2).设F，G分别为AB，BC的中点，求点P到平面SFG
5、的最大距离13. 已知函数f(x)=ln(ax)-x-ax(a0)的最小值为0(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)-12x-m有两个零点x1,x2，且x11一、单选题1. 函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调增区间是A. -32,-1和-12,+B. -32,-3-54和-3+54,+C. -,-1和-12,+D. -32,-1和-3+54,+【答案】A【解析】解：函数fx的定义域为-32,+，又fx=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3，令fx0，即4x2+6x+20，化简得2x2+3x+10，解得x-12，又函数fx的定义域为-32,+，故函数f(x)=ln
6、(2x+3)+x2的单调递增区间为-32,-1和故选A2. f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为A. 2B. 6C. 2或6D. 1【答案】A【解析】解：函数f(x)=x(x-c)2，f(x)=3x2-4cx+c2，又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极值，f(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，故选A3. 函数f(x)=lnx+ax有小于1的极值点，则实数a的取值范围是A. 0,1B. -,-1C. -1,0D. (-,-1)(0,+)【答案】B【解析】解：因为f(
7、x)=lnx+ax，所以函数定义域为x|x0，由f(x)=1x+a=0得，a0，x=-1a，又函数f(x)=lnx+ax有小于1的极值点，所以-1a1且a0，所以a0)，若对任意的x1-2,2，总存在x2-2,2，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的取值范围是A. 1e2,13B. 13,e2C. 13,+)D. e2,+)【答案】D【解析】解：要对任意的x1-2,2，总存在x2-2,2，使得f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集，所以fx在-,0上单调递减，在0,+上单调递增，即fx在-2,0)上单调递减，在(0,2上单调递增，f2=e2，f(0)=-1，所以fx-
8、1,e2，因为函数gx=mx-m且m0，所以gx在-2,2上单调递增，g-2=-3m，g2=m，所以gx-3m,m，因为f(x)的值域是g(x)的值域的子集，所以me2-3m-1且m0，解得me2故选D5. 下列说法正确的是A. 若p：x0，sinx1，则p:x01B. 命题“已知x,yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C. “x2+2xax在x1,2上恒成立”“(x2+2x)min(ax)min在x1,2上恒成立”D. 函数y=x2+9+1x2+9(xR)的最小值为2【答案】B【解析】解：对于选项A，若：，sinx1，则：，.所以该选项不正确；对于选项B，命题“已知，若，则或”的逆否命题
9、为“若且，则”，由于逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，所以该选项正确；对于选项C，“在上恒成立”不等价于“在上恒成立”，因为不等式两边的自变量都是“”，它只表示两边函数取相同的自变量时，左边的函数值不小于右边的函数值，所以不等价于“在上恒成立”.所以该命题不正确；对于选项D，函数的最小值不是2.设，所以因为，所以函数在单调递增，所以函数的最小值为，所以该选项错误故选：B二、单空题6. 已知f(x)=13x3+m2x2-6x+1在(-1,1)单调递减，则m的取值范围为_【答案】-5,5【解析】解：由题可得f(x)=x2+mx-6，而f(x)在-1,1上单调递减，则f(x)=x2+mx-60对
10、x-1,1恒成立，因此有f(-1)=-m-50f(1)=m-50,解得m-5m5,即-5m5所以m的取值范围是-5,5 故答案为-5,57. 已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(aR,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1，x2，x3，使得f(x1)0，f(x2)0，f(x3)0，则a的最小值是_【答案】-53e2【解析】解：由f(x)0可得(2x+1)ex+1-ax令g(x)=(2x+1)ex+1，h(x)=-ax，则g(x)=(2x+3)ex+1，当x-32，g(x)-32，g(x)0，故x=-32是极小值点，且g(-12)=0，故g(x)的图象如图所示显然，当a0时满足
11、f(x)0的负整数x有无数个，因此ah(-4)即-5e-23a-7e-34a，解得-53e2a0，此时f(m)单调递增，当m(12,1g(n)=-1n2-40在14,1上单调递减，所以gmax(n)=g(14)=3，即fmax(n)=3所以f(m)+f(n)的最大值为9. 已知函数f(x)的定义域为-1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数y=f(x) 的图象如图所示.下列关于f(x)的命题：x-1045f(x)1221函数f(x)的极大值点为0，4；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；函数y=f(x)与y=a的交点个数可能为0、1、
12、2、3、4个其中正确命题的序号是_【答案】【解析】解：由导函数的图象知，函数f(x)的最大值点为0与4，故正确；由已知中y=f(x)的图象可得在0,2上f(x)0，即f(x)在0,2是减函数，即正确；由已知中y=f(x)的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么0t5，故t的最大值为5，即错误；函数f(x)在定义域为-1,5共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f(x)-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即函数y=fx与y=a的交点个数可能为0、1、2、3、4个，因正确，综上可得正确命题的序号是故答案是三、解答题10. 已
13、知函数fx=13x3+mx2+nx+3，其导函数fx的图象关于y轴对称，f1=-23()求实数m，n的值；()若函数y=fx-的图象与x轴有三个不同的交点，求实数的取值范围【答案】解：()f(x)=x2+2mx+n.函数f(x)的图象关于y轴对称，m=0又f(1)=13+n+3=-23，解得n=-4.m=0，n=-4()问题等价于方程f(x)=有三个不相等的实根时，求的取值范围由()，得f(x)=13x3-4x+3.f(x)=x2-4.令f(x)=0，解得x=2当x2时，f(x)0，f(x)在(-,-2)，(2,+)上分别单调递增又当-2x2时，f(x)0，f(x)在(-2,2)上单调递减f(
14、x)的极大值为f(-2)=253，极小值为f(2)=-73实数的取值范围为11. 已知函数f(x)=13x3+2ax2+bx，且f(x)在x=3处取得极值-36(1)求曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程；(2)求f(x)在-3,6上的最大值和最小值【答案】解：(1)f(x)=x2+4ax+b，由f(3)=9+12a+b=0,f(3)=9+18a+3b=-36,得a=1,b=-21,所以f(x)=x2+4x-21因为f(0)=-21，所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为21x+y=0(2)由(1)知f(x)=x2+4x-21=(x+7)(x-3)，x-3,6，令f(x)0，得-3x0，得30)的最小值为0(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)-12x-m有两个零点x1,x2，且x11【答案】解：(1)，定义域为，从而，令，由于，则；故当时，单调递增，当时，单调递减，故，故，(2)，是函数的两个零点，两式相减，可得即，故，令，其中，则，构造函数，则对于，恒成立，故，即可知，
