1、天津市经济技术开发区第二中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 选择题（每题5分，共45分）1. ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式可得，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查利用诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.2. 曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )A. x-y-2=0B. x+y-2=0C. x+4y-5=0D. x-4y-5=0【答案】B【解析】【详解】求导得斜率-1，代点检验即可选B.，选B.3. 函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.
2、【详解】由题得，令得或，令得，所以函数的单调递增区间为，减区间为.所以函数的极大值为，极小值为，当时，当时，所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令重新构造函数，画出两个函数的图象得解）”4. 已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A. 4B. 2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数极值点在可导函数中，函
3、数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点.5. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减6. 对于函数，下列说法正确的是（ ）A. 函数图象关于点对称B. 函数图象关于直线对
4、称C. 将它的图象向左平移个单位，得到的图象D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象【答案】B【解析】【详解】【分析】，所以点不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于,A错，所以直线是对称轴，对称轴需要满足整体角等于，B对将函数向左平移个单位，得到的图像，C错将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像，D错，选B.【点睛】（1）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（2）三角函数图像平移：路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0)平移个单位长度，
5、得到函数ysin(x)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是yAsin(x)的图象7. 已知,则的值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以观察与之间的关系，然后通过三角函数的诱导公式以及即可得出的值【详解】因为，所以，所以，故选A【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的诱导公式，能否找出题目所给的角之间的联系是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题8. 若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法得出恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值，进而可求得实数
6、的取值范围.【详解】由题意得恒成立，设，令，则，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，故. 因此，实数取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于中等题.9. 已知则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用二倍角的余弦公式，结合化简即可.【详解】，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了角的正弦值、余弦值的正负性的判断.二. 填空题：（每题5分，共30分）10. 已知角的终边经过点（）且，则_.【答案】【解析】【分析】由余弦函数的定义可得，解出即可.【详解】由余弦函数的定义可得，
7、解得（舍去），或（舍去），或，.故答案为：.11. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据，可得的值，而，再将分子分母同除以化成关于的分式即可解.【详解】由，得，则有；故答案为：.【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：，.12. 已知函数的部分图象如图所示：则函数的解析式为_【答案】【解析】【分析】由函数图象的最值和周期可得A和，然后将点代入解析式，利用的范围即可得到值，从而得到函数解析式【详解】由图象得到的最大值为，周期为16，且过点所以，又，所以，将点代入，得到，所以故答案为【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考查计算能力，属于常考题型13. 已知函数
8、，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_.【答案】13【解析】【分析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】，当时，函数有极值，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极大值，且，在上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.14. _.【答案】【解析】【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果【详解】由题意得故答案为【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运
9、用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换15. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内三. 解答题（共75分）16. 已知，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由，得， ， （2）由，得，又， ，
10、由得，由得考点：同角三角函数关系17. 已知函数.（1）求极值； （2）求在区间上的最小值.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见详解.【解析】【分析】（1）对函数求导，由导数的方法，研究函数单调性，进而可得出极值；（2）分别讨论，三种情况，由导数的方法研究函数在给定区间的单调性，即可求出最值.【详解】（1）由可得，令，得，则，随变化，与的情况如下：所以的单调递减区间是；单调递增区间是；所以有极小值，无极大值；（2）当，即时，在上恒成立，则函数在上单调递增；所以在区间上的最小值为；当，即时；由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为；当，即时，函数在上单调递减，所以在区间上
11、的最小值为.综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.18. 已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）；（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】试题分析：（1）根据两角和的正弦公式把展开，在利
12、用二倍角公式即可把化成，由最小正周期为及周期公式即可求得的值；（2）由求得，根据正弦函数的图象找出单调区间，解出相应的范围即得在区间上的单调性.试题解析：（1），的最小正周期为，且，从而.（2）由（1）知，若则当时，递增，当时，递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.考点：三角恒等变换及三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答的关键是通过两角和的正弦公式、二倍角公式等把函数化成“一角一名一次式”形式的正弦型函数，利用给出的最小正周期求得；对于给定区间上的单调区间可换元转化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在上的单调区间，通过给取值，求
13、出与给出的区间的交集来求解.19. 已知函数，（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）当，且时，证明：【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析【解析】【详解】（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即 （2）由于当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上增函数当时，由，得当时，单调递增；、当时，单调递减(3)当时，、令当时，在单调递减又，所以在恒为负 所以当时，即故当，且时，成立20. 设函数（1）求函数的极值；（2）若方程在有两个实数解，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）首先明确定
14、义域，再求导，所以在上单调递增，在上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线与函数图像交点有两个的情况，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，方程有两解（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即因此只需证，即证为单调减函数，可利用导数，再结合（1）的结论可证.【详解】（1）由，定义域为，当时，单调递增，当时，单调递减，所以为函数的极大值点，则函数的极值为.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又， 当时，方程有两解（3） . 要证：只需证，只需证：设，则由（1）知在单调递减， 又， ，即是减函数，而 ，故原不等式成立【点睛】关键点睛：要证：只需证，只需证：，构造函数是解决本题的关键.
