1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合A=0，1，集合B=x|xa，若AB=，则实数a的范围是( )Aa1Ba1Ca0Da02复数z满足zi=3i，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在极坐标系中，曲线=2cos是( )A过极点的直线B半径为2 的圆C关于极点对称的图形D关于极轴对称的图形4执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A4B5C6D75设函数f（x）的定义域为R，则“xR
2、，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )ABCD77已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D不确定8已知抛物线y=和y=x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A（1，3）B（2，4）C（，3）D（，4
3、）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知平面向量，满足=（1，1），（+）（），那么|=_10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为_11在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=_12若数列an满足a1=2，且对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，则a3=_；数列an前10项的和S10=_13某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么
4、完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有_种（用数字作答）14如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是_；最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=4cosxsin（x）+，xR（）当x0，时，求函数 f （x）的值域；（）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离162014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公
5、里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频
6、率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围（只需写出结论）17如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EFAD，平面ADEF平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点（1）证明：AG平面ABCD（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由18设nN*，函数f（x）=，函数g（x）
7、=，x（0，+），（1）当n=1时，写出函数y=f（x）1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值19设F1，F2分别为椭圆=1（ab0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由20已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pk（xk，yk） （kN*，k2）满足P1（1，
8、1），与（i=2，3，4k）中有且只有一个成立（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（kN*，k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n1且P2n1（n，n）（nN*，n2）时，求 的最大值北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合A=0，1，集合B=x|xa，若AB=，则实数a的范围是( )Aa1Ba1Ca0Da0考点：交集及其运算 专题：集合分析：由AB=，可知集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，即得答案解答：解：集合A=0，1
9、，集合B=x|xa，且AB=，集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，从而a1，故选：B点评：本题考查集合的运算，弄清交集的定义是解决本题的关键，属基础题2复数z满足zi=3i，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案解答：解：由zi=3i，得，复数z对应的点的坐标为（1，3），位于第三象限故选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3在极坐标系中，曲线=2cos是( )A过极点的直线B半径为2 的圆C关于极
10、点对称的图形D关于极轴对称的图形考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：曲线=2cos化为2=2cos，可得（x1）2+y2=1，即可得出解答：解：曲线=2cos化为2=2cos，x2+y2=2x，配方为（x1）2+y2=1，因此表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称故选：D点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A4B5C6D7考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当x=243时，满
11、足条件x100，退出循环，输出n的值为5解答：解：模拟执行程序框图，可得x=3，n=1不满足条件x100，x=9，n=2不满足条件x100，x=27，n=3不满足条件x100，x=81，n=4不满足条件x100，x=243，n=5满足条件x100，退出循环，输出n的值为5故选：B点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的x，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查5设函数f（x）的定义域为R，则“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专
12、题：简易逻辑分析：根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：若函数f（x）为增函数，则f（x+1）f（x）成立，若f（x）=x，满足xR，f（x+1）f（x）”，则函数f（x）为增函数不成立，即“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )ABCD7考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案
13、解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：111=，故几何体的体积V=8=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D不确定考点：不等式比较大小 专题：不等式的解法及应用分析：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由
14、题意可得：，化为，设2x3y=m（2x+y）+n（xy）=（2mn）x+（mn）y，令，解得m，n，即可得出解答：解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x3y=m（2x+y）+n（xy）=（2mn）x+（mn）y，令，解得m=5，n=8，2x3y=5（2x+y）+8（xy）5858=0，因此2x3y，2枝玫瑰的价格高故选：A点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8已知抛物线y=和y=x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A（1，3
15、）B（2，4）C（，3）D（，4）考点：定积分在求面积中的应用 专题：函数的性质及应用分析：由图可知过两曲线的交点的直线与x轴的交点为（0，4），所以a4当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，），则其对称点为（x1，2a），将其代入曲线y=x2+5，得到的关于x1的方程的解有且只有两个，由根的判别式大于0得，从而可得结果解答：解：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，y1），其中，且4x14，则其关于点A的对称点为（x1，2ay1），所以这个点在曲线y=x2+5上，所以2ay1=x1
16、2+5，即2a=x12+5，所以2a=x12+5，即x12+52a=0，此方程的x1的解有且只有两个，从而，解得当=x2+5，即点A（0，4）时，此时只有一对满足题意的关于A点的对称点，故a4，所以，故选：D点评：本题考查点的对称性、一元二次方程根的判别式，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知平面向量，满足=（1，1），（+）（），那么|=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量垂直，数量积为0，得到两个向量的模相等；向量的模等于坐标平方和的算术平方根解答：解：因为（+）（），所以（+）（）=0，所以=0，所以|=|=；故答案为：点评：本题考
17、查了向量垂直的性质以及向量模的求法，属于基础题10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的标准方程y2=8x，可得焦点为（2，0）进而得到c=2再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2a2可得b2进而得到双曲线的方程解答：解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，c=2又双曲线的离心率为2，=2，得到a=1，b2=c2a2=3双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的性质与方
18、程，考查抛物线的性质，熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键11在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：cosB=，B（0，），可得sinB=再利用正弦定理可得：，即可得出解答：解：cosB=，B（0，），sinB=由正弦定理可得：，=故答案为：点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12若数列an满足a1=2，且对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，则a3=6；数列an前10项的和S10=110考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等
19、比数列分析：对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1an=a1=2，可得数列an是等差数列，首项为2，公差为2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出解答：解：对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1an=a1=2，数列an是等差数列，首项为2，公差为2，an=22（n1）=2na3=6，数列an前10项的和S10=110故答案分别为：6；110点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定
20、相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有24种（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，结合A必须在D的前面完成，可得结论解答：解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有482=24种，故答案为：24点评：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础14如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单
21、调增区间是，；最大值为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离分析：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC取BC的中点E，连接OE，则OEBC，可得OE，可得F（x）=（0x）利用导数研究其单调性即可得出解答：解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OEBC，OE=SOBC=F（x）=1=（0x）F（x）=，
22、令F（x）0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F（x）0，解得，此时函数F（x）单调递减法因此当x=时，F（x）取得最大值，=故答案分别为：，点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=4cosxsin（x）+，xR（）当x0，时，求函数 f （x）的值域；（）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图
23、象 专题：三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x），由x0，和三角函数的性质可得值域；（）由题意可得sin（2x）=，可得2x=2k+或2x=2k+，解方程可得x的值，可得答案解答：解：（）化简可得f（x）=4cosxsin（x）+=4cosx（sinxcosx）+=2sinxcosx2cos2x+=sin2xcos2x=2sin（2x），x0，2x，sin（2x），1，f（x）=2sin（2x），2，函数 f （x）的值域为，2；（）由题意可得2sin（2x）=1，sin（2x）=，2x=2k+或2x=2k+，解得x=k+或x=k+，kZ相邻两个交点间的
24、最短距离为点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属中档题162014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）
25、如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围（只需写出结论）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论（
26、）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论（）根据条件直接写出结论解答：解：（）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（）X的可能值为6，7，8，9，10统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=，则X的分布列为： X6 7 8 9 10 P则EX=6+7=（）s（
27、20，22点评：本题主要考查概率和统计的综合应用，以及离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的运算能力17如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EFAD，平面ADEF平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点（1）证明：AG平面ABCD（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理得到线面垂直（2）利用题中的已知
28、条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步以相面的夹角为突破口求出AG的长（3）首先假设存在点，进一步利用线面平行建立等量关系，利用法向量求出点的存在解答：证明：（1）因为：AE=AF，点G是EF的中点，所以：AGEF，又因为：EFAD，所以：AGAD，由平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，AG平面ADEF，所以：AG平面ABCD（2）解：由（1）得：AG平面ABCD所以：AG、AD、AB两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，四边形ABCD是边长为4的正方形，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点所以：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4
29、，0），设AG=t（t0），则：E（0，1，t），F（0，1，t），所以：，设平面ACE的法向量为：，由，解得：，所以：，直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以：=解得：t2=1或，所以：AG=1，或AG=，（3）解：假设线段AC上存在一点M，使MG平面ABF，设，则：，由，得：，设AG=t（t0），则：，所以：=（4，4，t），设平面ABF的法向量为：，解得：，由于：MG平面ABF，所以：，即：4t+t=0，解得：，所以：，此时，即当时，MG平面ABF点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，利用向量的共线证明线面平行，存在性问题的应用主
30、要考查学生的空间想象能力及问题的应用能力18设nN*，函数f（x）=，函数g（x）=，x（0，+），（1）当n=1时，写出函数y=f（x）1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分别令导函数大（小）于0列出关于x的不等式，求解即得函数的递增（减）区间，由最大值小于零及函数的图象可知函数不存在零点；（2）同（1）分别求出函数f（x）的最大值与g（x）的最小值，根据题意，只需曲线在直线l：y=1
31、的下方，而曲线在直线l：y=1的上方即可解答：（1）证明：结论：函数y=f（x）1不存在零点当n=1时， f（x）=，求导得，令f（x）=0，解得x=e当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下表所示： x （0，e）e （e，+） f（x）+0 f（x） 所以函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减则当x=e时，函数f（x）有最大值f（e）=，所以函数y=f（e）1的最大值为f（e）1=，所以函数y=f（x）1不存在零点；（2）解：由函数求导，得，令f（x）=0，解得当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下表所示：x（0，）（，+）f（x）+0 f（x） 所以函数f（x）在（
32、0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，则当x=时，函数f（x）有最大值；由函数g（x）=，x（0，+）求导，得，令g（x）=0，解得x=n，当x变化时，g（x）与g（x）的变化如下表所示：x（0，n）n（n，+）g（x）0 +g（x） 所以函数g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+）上单调递增，则当x=n时，函数g（x）有最小值g（n）=，因为对任意的nN*，函数f（x）有最大值，所以曲线在直线l：y=1的下方，而曲线在直线l：y=1的上方，所以，解得ne，又nN*，所以n的取值集合为：1，2点评：此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函
33、数零点的判断方法，是一道综合题19设F1，F2分别为椭圆=1（ab0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）先求F1（1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；（2）设直线l的方程为y=k（x1）、直线PQ的方程为y=k（x1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2）
34、，Q（x3，y3），由韦达定理及PB与AQ的中点重合，可解得，从而直线l方程为3x4y3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分解答：解：（1）点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，F1（1，0），椭圆E的焦点为F1（1，0），F2（1，0），由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=4，从而a=2，b=，故椭圆E的方程为；（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x1）、直线PQ的方程为y=k（x1），由 消去y，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，根据题意可知0，设A（x1，y1），B（x2，
35、y2），由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，由 消去y，得（3+4k2）x2（8k212k）x+4k212k3=0，由0，可知，设Q（x3，y3），又P（1，），则1+x3=，1x3=，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，所以，即x1x2=1x3，故，所以（）24=（1）2，解得，从而直线l方程为3x4y3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键20已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pk（xk，yk） （kN*，k2）满足P1（1，1
36、），与（i=2，3，4k）中有且只有一个成立（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（kN*，k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n1且P2n1（n，n）（nN*，n2）时，求 的最大值考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由新数列的定义，列举即可得到；（2）首先判断数列xi+yi是公差为1的等差数列，再假设存在点列T，使得+=2k，即k（k+3）=2k，推出矛盾即可得证；（3）化简整理，可令t=x1+x2+x2n1，则=t（n+1）（2n1）t，考虑f（t）=t（n+1）（2n1）t，当n为奇数
37、时，可得（n+1）（2n1）为正整数，当n为偶数时，可得（n+1）（2n1）不为正整数，（n+1）（2n1）是离其最近的正整数，构造数列，即可得到结论解答：解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；（2）证明：由已知xi+yi=xi1+yi1+1，则数列xi+yi是公差为1的等差数列，由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，k），+=（xi+yi）=2+3+（k+1）=k（k+3），若存在点列T，使
38、得+=2k，即k（k+3）=2k，即k（k+3）=2k+1，由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，故对于任意给定的k（kN*， k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）由已知yi=i+1xi（i=1，2，2n1），=（x1+x2+x2n1）（2x1+3x2+2nx2n1）=（x1+x2+x2n1）（2+3+2n）（x1+x2+x2n1），令t=x1+x2+x2n1，则=t（n+1）（2n1）t，考虑f（t）=t（n+1）（2n1）t，当n为奇数时，可得（n+1）（2n1）为正整数，构造数列xi：1，2，（n+1），（n1），（n1）+1，n，对应数列y
39、i：1，1，1，2，n，n而此时x1+x2+x2n1，=1+2+n+（n+1）+（n+1）+（n+1）=1+2+n+（n+1）（n1）=n（n+1）（2n1），所以t=（n+1）（2n1）， 的最大值为（n+1）2（2n1）2；当n为偶数时，可得（n+1）（2n1）不为正整数，（n+1）（2n1）是离其最近的正整数，构造数列xi：1，2，n，n，n+1，n+2，n，对应数列yi：1，1，1，2，n+1，n+1，n+2，n+n，n而此时x1+x2+x2n1，=1+2+n+n+n+n+1+n+1=（n+1）（2n1），所以t=（n+1）（2n1）， 的最大值为（n+1）2（2n1）2点评：本题考查递推数列的求和，同时考查考查等差数列的求和公式，理解新数列和分类讨论的思想方法是解题的关键，属于难题高考资源网版权所有，侵权必究！
