1、空间向量的数乘运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知向量a=4e1-e2,b=e1-e2,则()A.a,b一定共线B.a,b不一定共线C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线2.O为空间任意一点,若=+,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断3.(2013重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=+,则()A.=,=-1B.=-,=1C.=1,=-D.=-1,=4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则()A.
2、点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线AB上C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同5.若a,b是平面内的两个向量,则()A.内任一向量p=a+b(,R)B.若存在,R使a+b=0,则=0C.若a,b不共线,则空间任一向量p=a+b(,R)D.若a,b不共线,则内任一向量p=a+b(,R)二、填空题(每小题8分,共24分)6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k=.7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若
3、=x+y(+),则x=,y=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN平面CDE.10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2-时,点P是否与A,B,C共面?11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.答案解析1.【解析】选A.a=4e1-e2,b=e1-e2,a=4(e1-e2)=4b,a,b一定共线.2.【解析】选B.+=1,根据向
4、量共面定理,A,B,C,P四点共面.3.【解析】选A.=+=+=-+(-)+(-)=(1-)-=-=+,=,=-1.4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查与是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断与是否共线.【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.=(1-n)+n=-n+n-=n(-)=n,因为0,所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,=0时,a+b=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.6.【解析
5、】ke1+e2与e1+ke2共线,存在实数使得ke1+e2=(e1+ke2)成立.e1,e2不共线,k=1.答案:1【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何?【解析】A,B,D三点共线,向量与共线,于是存在实数,使=,即=(-),2e1+ke2=(2e1-e2)-(e1+3e2)(2-)e1+(k+4)e2=0,e1,e2不共线,2-=0且k+4=0,得k=-8.答案:-87.【解析】A,B,C,D共面,=+=+(-)+(-)=(1-)+=(+-1)-=2x+3y+4z,2
6、x+3y+4z=(+-1)+(-)+(-)=-1.答案:-18.【解析】=+=+=+(+)=+(+),对比系数可得x=1,y=.答案:19.【证明】=+=+=(+)+(+)=+=+.又与不共线,根据共面向量定理,可知,共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN平面CDE.【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A
7、1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG平面AB1C.【证明】设=a,=b,=c,则=+=(a+b),=a+b=2,=+=b-c=(b-c),=+=b-c=2,.又EG与EF相交,AC与B1C相交,平面EFG平面AB1C.10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),=(1-x-y)+x+y,比较原式得此方程组无解,这样的x,y不存在,所以A,B,C,P四点不共面.11.【解析】连接BD,BG.=-,=,=-,=+,=+-=-+.=,=,=(-+)=-+.又=-,=-+,=m,=m=-+,=-+=-+,=(1-)+(-1)+.又G,B,P,D四点共面,1-=0,m=.即m的值是.
